Решение

Средняя в генеральной совокупности рассчитывается по формуле: .Определим среднюю по выборке: =30 ц/га

Межсерийная дисперсия, необходимая для расчета средней ошибки выборки, будет следующей:

.

Тогда предельная ошибка серийной выборки (t =2, т.к. P = 0,954) составит: ц/га.

Следовательно, средняя урожайность в хозяйстве будет находиться в пределах: = 30 ± 0,5; 29,5ц 30,5ц. Результат гарантирован с вероятностью 0,954.

Пример 7. С целью определения доли сотрудников коммерческих банков в возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую выборку пропорционально численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число сотрудников банков составляет 13 тыс.чел., в т.ч. 8 тыс. мужчин и 5 тыс.женщин. На основании предыдущих обследований известно, что средняя из групповых дисперсий доли составляет 600. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке.

Решение

чел.

Объем предельных типических групп при этом составит:

мужчины - чел.; женщины - чел.

Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности сотрудников коммерческих банков составляет 212 чел., в т.ч. 130 мужчин и 82 женщины.

Задачи для самостоятельного решения

6.1. Укажите способ отбора в следующих выборках: 1) при изучении производительности труда отбирался каждый десятый рабочий завода; 2) для обследования физического здоровья школьников отобрано 5 % школ от их общего количества в городе; ученики школ, попавших в выборку, обследовались сплошь; 3) при обследовании семейных бюджетов население города было предварительно распределено на одиноких и семейных, а затем производилась пропорциональная выборка; 4) при изучении пассажиропотоков на городском транспорте; 5) при определении длительности телефонных разговоров абонентов.

6.2. В области организуется выборочное обследование наличия легковых автомобилей в пользовании семей. Ниже описаны возможные способы отбора. При каком из них ошибка выборки меньше: 1) отбирался каждый пятый населенный пункт, и в каждом из них производилось сплошное наблюдение; 2) отбирается каждая десятая семья из их общего списка; 3) совокупность семей распределяется на группы, например, городские и сельские семьи, а затем пропорционально численности групп производится отбор семей.

6.3. Как изменится величина предельной ошибки выборки, если вероятность, гарантирующую результат: а) увеличить с 0,683 до 0,997; б) уменьшить с 0,954 до 0,683; в) увеличить с 0,954 до 0,997; г) уменьшить с 0,997 до 0,954?

6.4. Определите, как изменится средняя ошибка собственно-случай-ной выборки, если численность выборочной совокупности: а) увеличить в 1,5 раза; б) уменьшить в 2,5 раза. Как изменить необходимую численность выборки, чтобы средняя ошибка уменьшилась в 2 раза; на 50%?

6.5. Каким должен быть объем собственно-случайной бесповторной выборки из генеральной совокупности численностью 5000 единиц при среднем квадратическом отклонении не более 12, предельной ошибке, не превышающей 5%, и вероятности 0,997?

6.6. С целью определения средней продолжительности времени поездки на работу обследовано 400 горожан, отобранных в случайном порядке на разных маршрутах городского транспорта. По данным обследования установлено среднее время поездки 30 мин. при среднем квадратическом отклонении 80 мин. Определите: 1) как изменится ошибка выборки, если объем выборочной совокупности увеличить в 2 раза; 2) как отразится на величине ошибки выборки увеличение дисперсии в 1,5 раза; 3) как изменится ошибка выборки, если с увеличением дисперсии в 1,21 раза объем выборки увеличить в 2,25 раза; 4) как изменится ошибка выборки, если численность выборочной совокупности будет в 2 раза больше.

6.7. Для определения среднего размера денежного вклада в отделениях Сбербанка города предполагается провести механическую выборку лицевых счетов из их общего числа 70200. По данным предыдущего обследования установлено среднее квадратическое отклонение размера вклада равно 250 грн. С вероятностью 0,954 определите необходимый объем выборочной совокупности при условии, что ошибка выборки не превысит 100 грн.

6.8. Финансовая корпорация с численностью сотрудников 784 человека путем механической выборки планирует определить долю сотрудников со стажем работы свыше 5 лет. Какова должна быть необходимая численность выборки, если по данным предыдущего обследования дисперсия стажа составила 0,25, а результаты выборочного наблюдения требуется гарантировать с вероятностью 0,954 и ошибкой не более 8 %?

6.9. Для определения средней дневной выработки ткачих требуется, чтобы предельная ошибка выборки, проведенной собственно-случайным способом, не превышала 0,4 м. Какой должна быть численность повторной выборки, чтобы результаты ее можно было гарантировать с вероятностью 0,954 при среднем квадратическом отклонении 2,5 м? Каким будет объем выборки, если предельную ошибку уменьшить в два раза?

6.10. В районе проживает 8000 семей. Предполагается провести их выборочное обследование методом случайного бесповторного отбора для определения среднего размера семьи. Определите необходимую численность выборки при условии, что с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превысит одного человека при среднем квадратическом отклонении три человека.

6.11. В городе с числом семей 15 тыс. предполагается методом случайного бесповторного отбора определить долю семей, имеющих детей школьного возраста. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка выборки не превышала 0,05, если дисперсия равна 0,30?

6.12. На склад торговой фирмы поступило 280 коробок с микрокалькуляторами, в каждой из которых упаковано по 28 штук. С целью установления соответствия этого товара международным стандартам планируется выборочная проверка калькуляторов. Определите необходимый объем выборки, если результат требуется гарантировать с вероятностью 0,954 и ошибкой не более 5%, а межсерийная дисперсия равна 40.

6.13. При планировании выборочного обследования занятости женского населения сельских районов области использованы следующие данные:

Район	Численность женщин в трудоспособном возрасте, тыс. чел.	Удельный вес занятых женщин, %
1 2 3 4	3,6 2,2 5,8 4,7	70 62 85 80

С вероятностью 0,954 определите необходимый объем типической пропорциональной выборки для установления границ генеральной доли при повторном отборе, чтобы ошибка выборки не превышала 5 %.

6.14 При подготовке выборочного обследования качества импортируемых кондитерских изделий была проведена пробная проверка 6 ящиков этой продукции для получения данных о колеблемости веса изделий. При этом получены следующие результаты:

№ ящика	1	2	3	4	5	6
Средний вес коробки в ящике, г	470	445	450	420	470	430

Сколько ящиков с кондитерскими изделиями необходимо отобрать в порядке бесповторного отбора для проверки качества, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 25 г, если генеральная совокупность насчитывает 600 равных по величине серий?

6.15. Для определения процента углерода в стали отобрано по схеме собственно-случайного отбора 80 проб:

% содержания углерода в стали	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,10
Количество проб	8	14	27	18	7	6

Определите: 1) с вероятностью 0,997 возможные пределы среднего процента углерода в стали во всей генеральной совокупности; 2) вероятность, с которой можно утверждать, что средний процент углерода во всей генеральной совокупности будет не более 0,085 и не менее 0,080.

6.16. С целью определения среднего уровня издержек обращения торговых фирм проведена 5%-ная механическая выборка их по области. Результаты обследования представлены в таблице:

Уровень издержек обращения, %	До 4	4-6	6-8	8-10	Свыше 10
Количество торговых фирм	11	19	30	15	5

Определите для всех торговых фирм области: 1) средний уровень из-держек обращения; 2) долю фирм, имеющих уровень издержек обраще-ния свыше 8%. Результаты расчетов гарантируйте с вероятностью 0,954.

6.17. Для определения среднего возраста рабочих предприятия была произведена 10%-ная механическая выборка рабочих. В результате обследования получены следующие данные:

Возраст рабочих, лет	До 20	20-30	30-40	40-50	Свыше 50
Число рабочих	12	32	45	26	15

С вероятностью 0,997 определите: 1) пределы, в которых находится средний возраст рабочих предприятия; 2) пределы, в которых находится доля рабочих предприятия в возрасте старше 50 лет.

6.18. С целью определения средней месячной заработной платы персонала гостиниц города было проведено 20%-ное выборочное обследование с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Для отбора сотрудников каждого типа гостиниц использовался механический отбор. Результаты обследования представлены данными таблицы:

Тип гостиниц	Средняя месячная зарплата, грн.	Среднее квадратическое отклонение, грн.	Число сотрудников
1 2 3	380 520 640	18 45 52	70 130 200

С вероятностью 0,954 определите пределы средней месячной зарплаты всех сотрудников гостиниц города.

6.19. Для выявления затрат времени на обработку деталей рабочими разной квалификации на предприятии была проведена 10%-ная типическая выборка пропорционально численности выделенных групп. Результаты обследования представлены данными:

Группы рабо-чих по уровню квалификации	Число рабочих	Средние затраты времени на обработку одной детали, мин.	Среднее квадра-тическое откло-нение, мин.
Высокий Средний Низкий	30 50 20	18 22 28	2 5 3

С вероятностью 0,954 определите по предприятию: 1) пределы, в которых находятся средние затраты времени на обработку деталей рабочими; 2) пределы доли рабочих, затрачивающих на обработку одной детали в среднем 18 мин.

6.20. Для определения среднего возраста мужчин, вступающих в брак, в районе была проведена 5%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Внутри групп применялся механический отбор. Результаты проведения выборки следующие:

Социальная группа	Число муж-чин, чел.	Средний возраст, лет	Дисперсия возраста	Удельный вес мужчин,вступаю--щих в брак во второй раз,%
Рабочие Служащие	110 90	23 32	25 85	20 28

С вероятностью 0,954 определите для генеральной совокупности: 1) пределы среднего возраста мужчин, вступающих в брак; 2) долю мужчин, вступающих в брак во второй раз.

6.21. Качество партии молочных продуктов, состоящей из 2000 пакетов, помещенных в ящики по 25 пакетов, проверялось с помощью 2%-ной серийной бесповторной выборки. Результаты проверки представлены следующими данными:

Показатели	Ящики
	1	2	3	4	5
Средний срок хранения, дн.	3	5	7	2	4
Удельный вес продуктов со сроком хранения не менее 4 дней	0,75	0,84	0,94	0,70	0,98

С вероятностью 0,997 определите во всей партии: 1) пределы среднего срока хранения молочных продуктов; 2) пределы доли молочных продуктов со сроком хранения не менее 4 дней.

6.22. В сборочном цехе машиностроительного завода работает в десяти бригадах 100 рабочих. В целях изучения уровня их квалификации была проведена 20%-ная серийная бесповторная выборка, в которую были включены 2 бригады. При этом получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам:

Рабочие	Разряды рабочих
	бригада №1	бригада №2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	4 5 2 6 3 4 3 3 6 5	5 4 6 6 4 3 5 5 6 3

Определите с вероятностью 0,954 для сборочного цеха завода: 1) пределы, в которых находится средний разряд рабочих; 2) пределы доли рабочих, имеющих 6-й разряд.

6.23. Для обследования всхожести семян они были распределе-ны на 50 равновеликих серий. На основе механического отбора было проверено 10 серий, в которых удельный вес взошедших семян сос-тавил 85%. С вероятностью 0,683 установите границы доли всхожес-ти семян во всей партии, если межсерийная дисперсия равна 729.

6.24. При проведении контроля качества произведенной продукции методом случайного отбора было проверено 60 изделий, из которых 3 оказались бракованными. Можно ли с вероятностью 0,683 утверждать, что доля бракованных изделий во всей партии не превысит 8%, если процент отбора составляет 10?

6.25. Выборочное обследование 200 работников родственных ма-лых предприятий показало, что средний процент выполнения норм вы-работки составляет 110%. Дисперсия этого показателя у данной катего-рии работников 576. С вероятностью 0,954 рассчитайте пределы средне-го процента выполнения норм выработки в генеральной совокупности.

6.26. Проведено 25%-ное собственно-случайное выборочное обследование 40 продавцов супермаркета с целью определения дневной производительности их труда. В результате установлено, что объем товарооборота в расчете на одного продавца составляет1620 грн. в день при среднем квадратическом отклонении 180 грн. С вероятностью 0,997 определите средний объем товарооборота, приходящегося на одного продавца, в целом по супермаркету.

6.27. Из партии готовой продукции в 1000 шт. в случайном бесповторном порядке обследовано 100 шт., из которых продукция высшего сорта составила 85%. Определите вероятность того, что допущенная при выборочном обследовании погрешность в оценке среднего процента продукции высшего сорта не превысит 10%.

6.28. В порядке 5%-ной серийной выборки обследовано 40 отделений Сбербанка области. Результаты обследования показали, что средний размер вклада составляет 5000 грн., доля рабочих в общей численности вкладчиков обследованных отделений Сбербанка равна 60%, межсерийные дисперсии: а) для средней – 965775; б) для доли – 0,0125. С вероятностью 0,954 определите средний размер денежного вклада и долю рабочих в общей численности вкладчиков.