Решение типовых задач

Пример 1. Имеются следующие данные об успеваемости студентов факультета по статистике: 4, 2, 5, 5, 3, 4, 3, 2, 5, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 2, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 3.

Для анализа распределения студентов по успеваемости: 1) постройте дискретный ряд распределения; 2) дайте графическое изображение ряда; 3) исчислите структурные средние ряда (двумя способами) и показатели формы распределения; 4) проверьте гипотезу о соответствии эмпирического распределения нормальному закону распределения.

Решение

1. Для построения дискретного вариационного ряда необходимо подсчитать количество появления каждой оценки, т.е. частоту появления признака. Дискретный ряд представлен в таблице 5.1.

Таблица 5.1

Распределение студентов по успеваемости

Успеваемость (балл), х	Число сту- дентов, f	Накопленные частоты, S нак	x f	x2 f
1	3	3	3	3	88,875
2	5	8	10	20	15,787
3	7	15	21	63	0,086
4	9	24	36	144	1,8136
5	6	30	30	150	46,3333
Итого	30	-	100	380	152,8949

2. Графически дискретный вариационный ряд может быть представлен в виде полигона (рис.5.1), кумуляты (рис.5.2) распределения. Полигон строится в прямоугольной системе координат.

3,93

1

3

4

f

1,72

х

полигон

3

7

5

6

9

Мо= 4(балла)

успеваемость, балл

5

2

полигон распределения

теоретическая кривая нормального распределения

Рис. 5.1. Распределение студентов по успеваемости.

По оси абсцисс откладываются значения дискретного признака, а по оси ординат – частоты распределения. Полигон часто замыкается, - для этого крайние вершины соединяются с точками на оси абсцисс, отстоящими на одно деление в принятом масштабе (в данном примере х = 0 и х = 6).

Кумулята – это линейный график накопленных частот. Для построения кумуляты дополнительно рассчитываются накопленные частоты (S_НАК), - они представлены в таблице 5.1, и в прямоугольной системе координат строится их график (рис.5.2).

5

4

успеваемость,балл

1

3

2

Рис. 5.2. Кумулята распределения студентов по успеваемости

3. Cтруктурными средними выступают мода и медиана.

Модальное значение признака, т.е. М_о = 4 (балла). Графически – это вершина полигона распределения (рис.5.1).

Медиана равна 3 балла, так как S_НАК = =15 для признака, равному 3. Графически медиана определяется с помощью кумуляты распределения. Для ее определения сумму ординат (сумму частот) делят пополам, т.е. . Через полученную точку проводится прямая параллельно оси абсцисс до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианной величиной распределения (рис. 5.2).

3. Для оценки формы распределения исчислим коэффициент асимметрии и эксцесса: ; (балла); М₀=

= 4(балла); ; .

, это свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии распределения студентов по успеваемости (рис. 5.1).

Для проверки статистической гипотезы о существенности асимметрии рассчитываем соотношение , исчислив предварительно: = ; .

В нашем примере наличие асимметрии несущественно и объясняется влиянием случайных факторов.

Исчислим коэффициент эксцесса: ; =

; .

Так как , то распределение студентов по успеваемости – низковершинное или плосковершинное по сравнению с нормальным распределением.

5. Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному используем критерий Пирсона или - критерий. Определим теоретические частоты нормального распределения по формуле: ; ; h = 1 (для дискретного ряда); n = ∑ f = 30, тогда .

Все промежуточные расчеты представлены в таблице 5.2.

Определяем расчетное значение -критерия: =2,1146. Полученное значение =2,1146 сравнивается с табличным значением , которое определяется по заданной вероятности (например, Р = 0,95) и числу степеней свободы (m = k – 3 = 5 - 2) (приложение 4).

Таблица 5.2

Вспомогательные расчеты теоретических частот нормального

закона распределения

Успеваемость, (x)	Число студентов, (f)		2= =	Теор.частоты,	Округл. теорет. частоты,
1	3	-1,854	0,0721	1,72	2,0	0,5
2	5	-1,058	0,2275	5,43	5,4	0,0296
3	7	-0,262	0,3857	9,2	9,2	0,526
4	9	0,533	0,3467	8,26	8,3	0,059
5	6	1,328	0,1647	3,93	4,0	1,0
Итого	30				28,93	2,1146

= 6. Так как < (2,1146 < 6,0), то гипотеза о соответствии эмпирического распределения нормальному с вероятностью 0,95 не отвергается. На рис.5.1 построим теоретическую линию нормального закона распределения. Эмпирическое распределение близко нормальному закону распределения, однако оно более плосковершинно, чем нормальное (Е_Х < 0) и с незначительной правовершинной асимметрией (А_S < 0), что видно на графическом изображении эмпирического и теоретического распределения.

Пример 2. Известно распределение коммерческих банков области по размеру прибыли.

Размер прибыли, млн.грн	До 10,0	10,0 – 20,0	20,0 - 30,0	30,0 - 40,0	40,0 - 50,0	Свыше 50,0	Ито- го
Количество банков	20	40	25	45	50	20	200

Оцените уровень вариации банков по размеру прибыли, рассчитав абсолютные и относительные показатели вариации. Сделайте выводы.