Срс12.Задача о коммивояжере.

		Томск	Юрга	Мариинск	Ачинск	Бийск	Абакан
		1	2	3	4	5	6
Томск	1	А(∞)	Л	Е	К	С	А
Юрга	2	Н	Д(∞)	Р	А	Ч	Е
Мариинск	3	Р	Т	О(∞)	Л	Я	С
Ачинск	4	О	Л	Е	Г(∞)	О	В
Бийск	5	Н	А	А	Л	Е(∞)	К
Абакан	6	С	А	Н	Д	Р	А(∞)

		Томск	Юрга	Мариинск	Ачинск	Бийск	Абакан	Минимум по строкам
		1	2	3	4	5	6
Томск	1	∞	13	6	12	19	1	1
Юрга	2	15	∞	18	1	25	6	1
Мариинск	3	18	20	∞	13	33	19	13
Ачинск	4	16	13	6	∞	16	3	3
Бийск	5	15	1	1	13	∞	12	1
Абакан	6	19	1	15	5	18	∞	1

2.Вычитаем наименьший элемент каждой строки из всех остальных и получаем С^’ и находим наименьший элемент в каждом столбце:

C’_ij=C_ij-C_ij(i)

C_ij(i)=minC_ij.

	1	2	3	4	5	6
1	∞	12	5	11	18	0
2	14	∞	17	0	24	5
3	5	7	∞	0	20	6
4	13	10	3	∞	13	0
5	14	0	0	12	∞	11
6	18	0	14	4	17	∞
Мин по столбцам	5	0	0	0	13	0

Сумма констант приведения определяет нижнюю границу G:

G = ∑d_i + ∑d_j

3.Вычитаем наименьший элемент каждого столбца из всех остальных элементов

∞	12	5	11	5	0
9	∞	17	0	11	5
0	7	∞	0	7	6
8	10	3	∞	0	0
9	0	0	12	∞	11
13	0	14	4	4	∞

Для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на бесконечность и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения, они приведены в скобках.

i j	1	2	3	4	5	6
1	∞	12	5	11	5	0(5)
2	9	∞	17	0(5)	11	5
3	0(8)	7	∞	0(0)	7	6
4	8	10	3	∞	0(4)	0(0)
5	9	0(0)	0(3)	12	∞	11
6	13	0(4)	14	4	4	∞
dj	8	0	3	0	4	0

4. Наибольшая сумма констант приведения равна (0 + 8) = 8 для ребра (3,1).

Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества:

G(3,1) = 38 + 8 = 46

Исключение ребра (3,1) проводим путем замены элемента d₃₁ = 0 на ∞

в результате получим редуцированную матрицу

i j	1	2	3	4	5	6	di
1	∞	12	5	11	5	0(5)	0
2	9	∞	17	0(5)	11	5	0
3	∞	7	∞	0(0)	7	6	6
4	8	10	3	∞	0(4)	0(0)	0
5	9	0(0)	0(3)	12	∞	11	0
6	13	0(4)	14	4	4	∞	4
dj	8	0	3	0	0	0	10

Включение ребра (3,1) проводится путем исключения всех элементов 3-ой строки и 1-го столбца, в которой элемент d₁₃ заменяем на ∞.

∑d_i + ∑d_j =3

После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

i j	2	3	4	5	6	di
1	12	∞	11	5	0	0
2	∞	17	0	11	5	0
4	10	3	∞	0	0	0
5	0	0	12	∞	11	0
6	0	14	4	4	∞	0
dj	0	0	0	0	0	0

Нижняя граница подмножества (3,1) равна:

G (3,1) = 38 + 0 = 38 < 46

П оскольку нижняя граница этого подмножества (3,1) меньше, чем подмножества (3,1), то ребро (3,1) включаем в маршрут.

i j	2	3	4	5	6	di
1	12	∞	11	5	0(5)	5
2	∞	17	0(9)	11	5	5
4	10	3	∞	0(4)	0(0)	0
5	0(0)	0(3)	12	∞	11	0
6	0(4)	14	4	4	∞	4
dj	0	3	4	4	0	0

Наибольшая сумма констант приведения равна (5 + 4) = 9 для ребра (2,4)

Нижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества:

G (2,4) = 38 + 9 = 47

Исключение ребра (2,4) проводим путем замены элемента d₂₄ = 0 на ∞

в результате получим редуцированную матрицу

i j	2	3	4	5	6	di
1	12	∞	11	5	0(5)	5
2	∞	17	∞	11	5	5
4	10	3	∞	0(4)	0(0)	0
5	0(0)	0(3)	12	∞	11	0
6	0(4)	14	4	4	∞	4
dj	0	3	4	4	0	0

В результате получим другую сокращенную матрицу (4 x 4), которая подлежит операции приведения.

Сумма констант приведения сокращенной матрицы:

∑d_i + ∑d_j = 0

После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

i j	2	3	5	6	di
1	12	∞	5	0	0
4	∞	3	0	0	0
5	0	0	∞	11	0
6	0	14	4	∞	0
dj	0	0	0	0	0

Нижняя граница подмножества (2,4) равна:

G (2,4) = 38 + 0 = 38 < 47

П оскольку нижняя граница этого подмножества (2,4) меньше, чем подмножества (2,4), то ребро (2,4) включаем в маршрут.

Для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на бесконечность и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения, они приведены в скобках.

i j	2	3	5	6	di
1	12	∞	5	0(5)	5
4	∞	3	0(4)	0(0)	0
5	0(0)	0(3)	∞	11	0
6	0(4)	14	4	∞	4
dj	0	3	4	0	0

Наибольшая сумма констант приведения равна (5 + 0) = 5 для ребра (1,6)

в результате получим матрицу.

i j	2	3	5	6	di
1	12	∞	5	∞	5
4	∞	3	0	0	0
5	0	0	∞	11	0
6	0	14	4	∞	4
dj	0	3	4	0	0

Включение ребра (1,6) проводится путем исключения всех элементов 1-ой строки и 6-го столбца, в которой элемент d₁₆ заменяем на ∞

В результате получим другую сокращенную матрицу (3 x 3), которая подлежит операции приведения.

Сумма констант приведения сокращенной матрицы:

∑d_i + ∑d_j = 0

После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

i j	2	3	5	di
4	∞	3	0	0
5	0	0	∞	0
6	0	14	4	0
dj	0	0	0	0

Нижняя граница подмножества (1,6) равна:

G(1,6) = 38 + 0 = 38 < 43

П оскольку нижняя граница этого подмножества (1,6) меньше, чем подмножества (1,6), то ребро (1,6) включаем в маршрут.

Для всех клеток матрицы с нулевыми элементами заменяем поочередно нули на бесконечность и определяем для них сумму образовавшихся констант приведения, они приведены в скобках.

i j	2	3	5	di
4	∞	3	0(7)	3
5	0(0)	0(3)	∞	0
6	0(4)	∞	4	4
dj	0	3	4	0

Наибольшая сумма констант приведения равна (3 + 4) = 7 для ребра (4,5)

Н ижняя граница гамильтоновых циклов этого подмножества:

G (4,5) = 38 + 7 = 45

Исключение ребра (4,5) проводим путем замены элемента d₄₅ = 0 на ∞

в результате получим матрицу.

i j	2	3	5	di
4	∞	3	∞	3
5	0(0)	0(3)	∞	0
6	0(4)	∞	4	4
dj	0	3	4	0

Включение ребра (4,5) проводится путем исключения всех элементов 4-ой строки и 5-го столбца, в которой элемент d₄₅ заменяем на ∞

В результате получим другую сокращенную матрицу (2 x 2), которая подлежит операции приведения.

Сумма констант приведения сокращенной матрицы:

∑d_i + ∑d_j = 0

После операции приведения сокращенная матрица будет иметь вид:

i j	2	3	di
5	0	0	0
6	0	∞	0
dj	0	0	0

Нижняя граница подмножества (4,5) равна:

G(4,5) = 38 + 0 = 38 < 45

П оскольку нижняя граница этого подмножества (4,5) меньше, чем подмножества (4,5), то ребро (4,5) включаем в маршрут.

В соответствии с этой матрицей включаем в гамильтонов маршрут ребра (5,3) и (6,2).

В результате по дереву ветвлений цикл образуют ребра:

(3,1), (1,6), (6,2), (2,4), (4,5), (5,3),

Длина маршрута равна 38

Запрещенные маршруты : (1,3),(6,3),(2,6),(4,2),(5,4)(3,5)

66