9.2.Метод минимального элемента

Исходные данные

Матрицу необходимо сбалансировать

1. Искомый элемент равен 1

Для этого элемента запасы равны 19, потребности 13. Поскольку минимальным является 13, то вычитаем его.

X = min(19,13) = 13.

2. Искомый элемент равен 5

Для этого элемента запасы равны 1, потребности 19. Поскольку минимальным является 1, то вычитаем его.

x = min(1,19) = 1.

3. Искомый элемент равен 6

Для этого элемента запасы равны 6, потребности 18. Поскольку минимальным является 6, то вычитаем его.

x = min(6,18) = 6.

4. Искомый элемент равен 6

Для этого элемента запасы равны 16, потребности 33. Поскольку минимальным является 16, то вычитаем его.

x = min(16,33) = 16.

5. Искомый элемент равен 0

Для этого элемента запасы равны 45, потребности 17. Поскольку минимальным является 17, то вычитаем его.

x = min(45,17) = 17.

6. Искомый элемент равен 0

Для этого элемента запасы равны 28, потребности 12. Поскольку минимальным является 12, то вычитаем его.

x = min(28,16) = 12.

7. Искомый элемент равен 0

Для этого элемента запасы равны 16, потребности 16. Поскольку минимальным является 16, то вычитаем его.

x₄₄ = min(16,16) = 16.

Результат

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

Z(x) = 1*13 + 6*6 + 5*1 + 6*16 + 0*17 + 0*12 + 0*16 = 150

Срс 10. Метод потенциалов

Решим задачу СРС 10 методом потенциалов, взяв в качестве исходных – условия и начальный опорный план, полученный методом северо-западного угла (СРС 9).

a_i

С11=1	С12=13	С13=6	С14=12	a1=19
С21=1	С22=15	С23=5	С24=18	a2=1
С31=25	С32=6	С33=18	С34=20	a3=16
b bj 1=13	b2=33	b3=19	b4=16	36 81

Имеется m=4 пункта производства (поставщиков) и n=3 пункта потребления (потребителей) однородного продукта. Заданы величины:

a_i - объем производства (запас) i-го поставщика, i=1, m ;

b_j - объем потребления (спрос) j-го потребителя, j=1, n ;

c_ij - стоимость перевозки (транспортные затраты) единицы продукта от i-го поставщика к j-му потребителю.

Требуется составить такой план перевозок, при котором спрос всех потребителей был бы выполнен, и при этом общая стоимость всех перевозок была бы минимальна.

Сбалансируем транспортную задачу.

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

∑a = 19+1+16 =36

∑b = 13+33+19+16= 81

Как видно, суммарная потребность груза в пунктах назначения превышает запасы груза на базах незначительно, однако , модель исходной транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, нужно ввести дополнительного (фиктивного) поставщика. Запас груза- 45 (81—36). Тарифы перевозки единицы груза от поставщика к потребителю полагаем, равны нулю.

З

a_i

анесем исходные данные в распределительную таблицу.

1	13	6	12	19
1	15	5	18	1
25	6	18	20	16
0	0	0	0	45
13	33	19	16	0

b_j

Начальный опорный план, построенный методом северо-западного угла.

1 [13]	13 [6]	6	12
1	15 [1]	5	18
25	6 [16]	18	20
0	0 [10]	0 [19]	0 [16]

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 1; 0 + v₁ =1; v₁ = 1

u₁ + v₂ = 13; 0 + v₂ = 13; v₂ = 13

u₂+ v₂ = 15; 13 + u₂ = 15; u₂ = 2

u₃ + v₂ = 6; u₃+ 13=6; u₃ = -7

u₄ + v₂ = 0; u₄ +13 = 0; u₄ =-13

u₄ + v₃ = 0; -13 + v₃ = 0; v₃ = 13

u₄ + v₄ = 0; -13 + v₄ = 0; v₄ = 13

	v1=1	v2=13	v3=13	v4=13
u1=0	1 [13]	13 [6]	6	12
u2=2	1	15 [1]	5	18
u3=-7	25	6 [16]	18	20
u4=-13	0	0 [10]	0 [19]	0 [16]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(1;3): 0 +13 > 6; ∆₁₃ = 0 + 13 - 6 = 7

(1;4): 0 + 13 > 12; ∆₁₄ = 0 + 13 - 12 = 1

(2;1): 2+ 1 > 1; ∆₂₁ = 2 + 1 - 1 = 2

(2;3): 2+13 > 5; ∆₂₃ = 2+ 13 - 5 = 10

max(7,1,2,10) = 10

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (2;3): 5

Для этого в клетку (2;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	1 [13]	13 [6]	6	12	19
2	1	1 5 [1][-]	5 [+]	18	1
3	25	6 [16]	18	20	16
4	0	0 [10][+]	0 [19][-]	0 [16]	45
Потребности	13	33	19	16	0

Из грузов х_ij,стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1,19) = 1 Прибавляем 1 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 1 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	Запасы
1	1 [13]	13 [6]	6	12	19
2	1	15	5[1]	18	1
3	25	6 [16]	18	20	16
4	0	0 [11]	0 [18]	0 [16]	45
Потребности	13	33	19	16	0

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 1; 0 + v₁ = 1; v₁ = 1

u₁ + v₂ = 13; 0 + v₂ = 13; v₂ = 13

u₂ + v₃ = 5; u₂ + 13= 5; u₂ = -8

u₃ + v₂ = 6; 13 + u₃ = 6; u₃ = -7

u₄ + v₂ = 0; u₄+ 13= 0; u₄ = -13

u₄ + v₃ = 0; -13+ v₃ = 0; v₃ = 13

u₄ + v₄ = 0; -13+ v₄ = 0; v₄ = 13

	v1=1	v2=13	v3=13	v4=13
u1=0	1 [13]	13 [6]	6	12
u2=-8	1	15	5[1]	18
u3=-7	25	6 [16]	18	20
u4=-13	0	0 [11]	0 [18]	0 [16]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(1;3): 0 + 13 > 6; ∆₁₃ = 0 + 13 - 6 = 7

(1;4): 0 + 13 > 12; ∆₁₄ = 0 + 13 - 12 = 1

Max(7;1)= 7

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;4): 12

Для этого в перспективную клетку (1;4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	1 [13]	1 3 [ 6][-]	6	1 2[+]	19
2	1	15	5[1]	18	1
3	25	6 [16]	18	20	16
4	0	0 [11][+]	0 [18]	0 [16][-]	45
Потребности	13	33	19	16	0

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (6, 16) = 6.

Прибавляем 6 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 6 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	Запасы
1	1 [13]	13	6	12[6]	19
2	1	15	5[1]	18	1
3	25	6 [16]	18	20	16
4	0	0 [17]	0 [18]	0 [10]	45
Потребности	13	33	19	16	0

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 1; 0 + v₁ = 1; v₁ = 1

u₁ + v₄ = 12; 0 + v₄ = 12; v₄ = 12

u₂ + v₃ = 5; u₂+ 12= 5; u₂= -7

u₃ + v₂ = 6; u₃+ 12 = 6; u₃= -6

u₄ + v₂ = 0; -12 + v₂ = 0; v₂ = 12

u₄ + v₃ = 0; -12 + v₃ = 0; v₃= 12

u₄+ v₄ = 0; 12 + u₄ = 0; u₄ = -12

	v1=1	v2=12	v3=12	v4=12
u1=0	1 [13]	13	6	12[6]
u2=-7	1	15	5[1]	18
u3=-6	25	6 [16]	18	20
u4=-12	0	0 [17]	0 [18]	0 [10]

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

(1;3): 0 + 12 > 6; ∆₁₃ = 0 + 12 - 6 = 6

Max=6

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (1;3): 6

Для этого в перспективную клетку (1;3) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

	1	2	3	4	Запасы
1	1 [13]	13	6 [+]	1 2[6][-]	19
2	1	15	5[1]	18	1
3	25	6 [16]	18	20	16
4	0	0 [17]	0 [18][-]	0 [10][+]	45
Потребности	13	33	19	16	0

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (6, 18) = 6.

Прибавляем 6 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 6 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

	1	2	3	4	Запасы
1	1 [13]	13	6[6]	12	19
2	1	15	5[1]	18	1
3	25	6 [16]	18	20	16
4	0	0 [17]	0 [12]	0 [16]	45
Потребности	13	33	19	16	0

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 1; 0 + v₁ = 1; v₁ = 1

u₁ + v₃ = 6; 0 + v₃ = 6; v₃ = 6

u₂ + v₃ = 5; u₂+ 6= 5; u₂= -1

u₃ + v₂ = 6; u₃+ 6 = 0; u₃= -6

u₄ + v₂ = 0; -6 + v₂ = 0; v₂ = 6

u₄ + v₃ = 0; u₄+ 6 = 0; u₄= -6

u₄+ v₄ = 0; -6 + v₄ = 0; v₄ = 6

	v1=1	v2=6	v3=6	v4=6
u1=0	1 [13]	13	6[6]	12
u2=-1	1	15	5[1]	18
u3=-6	25	6 [16]	18	20
u4=-6	0	0 [17]	0 [12]	0 [16]

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i <= c_ij.

Минимальные затраты составят:

Z(x⁽⁰⁾)= 1*13 + 6*6 + 5*1 + 6*16 + 0*17 + 0*12+0*16 = 150

Начальный опорный план, полученный методом минимального элемента:

	1[13]	13	6[6]	12
X(0)ММЭ =	1	15	5[1]	18
	25	6[16]	18	20
	0	0[17]	0[12]	0[16]

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

u₁ + v₁ = 1; 0 + v₁ = 1; v₁ = 1

u₁ + v₃ = 6; 0 + v₃ = 6; v₃ = 6

u₂ + v₃ = 5; u₂ + 6 = 5; u₂ = -1

u₄ + v₂ = 0; -6+ v₂ = 0; v₂ = 6

u₃ + v₂ = 6; u₃+ 6= 6; u₃ = 0

u₄ + v₃ = 0; u₄ + 6 = 0; u₄ = -6

u₄ + v₄ = 0; -6 + v₄ = 0; v₄ = 6

	v1=1	v2=6	v3=6	v4=6
u1=0	1[13]	13	6[6]	12
u2=-1	1	15	5[1]	18
u3=0	25	6[16]	18	20
u4=-6	0	0[17]	0[12]	0[16]

Опорный план является оптимальным, так как все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i <= c_ij.

Минимальные затраты составят:

Z(x⁽⁰⁾)= 1*13 + 6*6 + 1*5 + 6*16 + 0*17 + 0*12+0*16 = 150

Вывод: Начальный опорный план, полученный методом минимального элемента, оказался наилучшим, как показал метод потенциалов. Оптимальный опорный план метода минимального элемента мы получили после 1 итерации, а для получения оптимального опорного плана метода северо-западного угла нам пришлось совершить 4 итераций. Полученные значения = 150.