5.2. Сравнить результат решения срс5 с результатами срс3 и срс4.
Подставим значения базисных переменных в целевую функцию.
Z(x)= ≈1097. Результат, полученный в СРС5, совпадает с результатами вычислений, полученных в СРС3 и СРС4.
СРС-6. Первая теорема двойственности
6.1. Сформировать сопряженную задачу двойственной пары для задачи СРС1.2. Решить сопряженную задачу геометрически интерпретацией в пространстве условий. Проверить первую теорему двойственности.
Прямая задача СРС1.2:
Z(x) = 25x1 + 6x2 max
18х1 + 20х2 16;
13х1 + 33х2 19;
х1 + 13х2 6.
х1 ≥ 0, х2 ≥ 0
Запишем двойственную задачу СРС1.2:
L(y)=16y1+19y2+6y3 min
18y1+13y2+y3>=25
20y1+33y2+13y3>=6
yj ≥ 0; j =1,3
yj – неогр.
Решим в Excel данную задачу.
Утверждение первой теоремы двойственности выполняется: на оптимальных планах значения целевых функций в прямой и сопряженной задачах совпадают и равны 22,22222.
6.2. Сформировать сопряженную задачу двойственной пары для задачи СРС3. Решить сопряженную задачу геометрически интерпретацией в пространстве переменных. Проверить первую теорему двойственности
Двойственная задача СРС3:
L(y)=7682y1+4389y2 min
4y1+7y2>=1
8y1+2y2>=1
6y1+6y2>=1
5y1+8y2>=1
4y1+10y2>=1
Решим в Excel данную задачу.
Утверждение первой теоремы двойственности выполняется: на оптимальных планах значения целевых функций в прямой и сопряженной задачах совпадают и равны примерно 1097.
Срс 7. Вторая теорема двойственности
7.1. Данные для срс 7.1 берем из cpc 1.2.
Прямая задача:
Z(x)=25 (1)
При условиях:
(2)
y2 → ≤19 (3)
y3 → (4)
≥ 0; ≥ 0 (5)
Запишем сопряжённую задачу:
L (Y) = 16y1 + 19y2 +6y3 → min (6)
При условиях
18y1 + 13y2 + 1y3 ≥ 25 (7)
20y1 + 33y2 + 13y3 ≥ 6 (8)
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0 (9)
В СРС 1.2 были получены следующие данные:
x*= (0,88;0)
Z*(x)= 22,2
На основе сопряженных пар двойственных условий 3º и 4º определили качественно структуру оптимального плана двойственной задачи Y*, т.е. определили структуру базиса.
y1 → 18 * 0,88 ≤ 16
y2 → 13 * 0,88 ≤ 19
y3 → 1 * 0,88 ≤ 6
y1 в базисе.
y1* ≥ 0
y2* = 0
y3* = 0
18y1* = 25
y1* = 1,38
L(y) = 16* y1 = 16*1,38 ≈ 22,2
Вывод: Решив данную задачу с помощью второй теоремы двойственности, получаем равные значения целевой функции, которые соответствуют найденным значениям в СРС 1. 2.
Z(x) = L(y) = 22,2
7.2. Данные для срс 7.2 берем из cpc 3
Прямая задача:
Z(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 → min (1)
При условиях
y1 → 7x1 + 8x2 + 6x3 + 5x4 + 4x5 = 7682 (2)
y2 → 4x1 + 2x2 + 6x3 + 8x4 + 10x5 = 4389 (3)
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 , x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0 (4)
Запишем сопряжённую задачу:
L (Y) = 7682 y1 + 4389 y2 → max (5)
при условиях
x1* → 7y1 + 4y2 ≤ 1 (6)
x2 * → 8y1 + 2y2 ≤ 1 (7)
x3 * → 6y1 + 6y2 ≤ (8)
x4 * → 5y1 + 8y2 ≤ 1 (9)
x5 * → 4y1 + 10y2 ≤ 1 (10)
y1 ≥ 0, y2 – неогран.
В СРС 3 были получены следующие данные:
x* = (0,823, 0, 0, 274 )
Z*(x) = 1097
x2*, x5* в базисе
y2 = 0,06
y1 = 0,11
L(y)=7682*0,11
+ 4389*
=
≈ 1097
Вывод:Решив данную задачу с помощью второй теоремы двойственности, получаем равные значения целевой функции, которые соответствуют найденным значениям в СРС3: Z(x) = L(y) = 1097