2. Оценка анормальности результатов испытаний
Если результаты измерений можно отнести к нормальному распределению, то грубые погрешности исключают, основываясь на критериях оценки анормальности результатов наблюдений.
Анормальным называют результат измерений, резко отклоняющийся от группы результатов, являющихся нормальными.
Методика оценки анормальности результатов:
Полученные результаты испытаний ранжируют в порядке возрастания:
,
(25)
Подсчитывают выборочное среднее:
,
(26)
Подсчитывают среднее квадратическое отклонение:
, (27)
4. Чтобы оценить Хn и Х1 в данной нормальной совокупности и принять решение об исключении или оставлении данных значений в составе выборки, находят отклонения этих величин относительно среднего значения, для чего используются следующие формулы:
;
,
(28)
Полученные результаты сравнивают со значением bm, взятым из таблиц для данного объема выборки n и принятых уровней значимости q.
Если Un>bm или U1>bm, то сомнительный результат исключают.
Значения bm приведены в таблице 4.
Правила оценки анормальности отдельных результатов наблюдений при нормальном распределении результатов изложены в ГОСТ 11.002.
Таблица 4.
Объем выборки |
Предельное значение bm при уровне значимости q |
|||
n |
0,100 |
0,075 |
0,050 |
0,025 |
5 |
1,42 |
1,44 |
1,67 |
1,84 |
10 |
2,03 |
2,10 |
2,18 |
2,29 |
20 |
2,38 |
2,46 |
2,56 |
2,71 |
3. Определение доверительных интервалов и доверительных вероятностей
Для исследователя важно знать точность и надежность оценки каждого определенного параметра, представления о которых дают доверительные интервалы.
Двусторонним доверительным интервалом называют интервал от Х-ξ до Х+ ξ, который покрывает неизвестный параметр распределения с заданной доверительной вероятностью Рd.
Доверительная ошибка ξ характеризует случайную ошибку параметра распределения. Чем меньше значение ξ, тем больше точность оценки Х.
Доверительной вероятностью Рd или надежность, соответствующей данному доверительному интервалу, называется вероятность того, что истинное значение многих числовых характеристик Х лежит в этом интервале:
,
(29)
Величина, равная
называется уровнем
значимости и
иногда выражается в процентах. Она
характеризует вероятность событий,
условно принимаемых за невероятные.
Обычно при статистической обработке экспериментальных данных фиксируют на определенном уровне надежность полученных оценок, принимая значения доверительной вероятности Рd равными 0,9-0,95 – для поисковых работ; 0,95-0,98 – для исследования процессов и машин; 0,95-0,99 – для контроля качества продукции.
Для характеристики случайной погрешности необходимо иметь две характеризующие ее величины: доверительный интервал и доверительную вероятность.
При определении доверительных интервалов стремление застраховаться от возможной ошибки приводит к выбору весьма больших доверительных вероятностей. Опыт показывает, что доверительная вероятность равная 0,95 и даже 0,90 вполне достаточна для практических целей.
Доверительный интервал ограничен нижней и верхней доверительными границами, в его пределах с некоторой вероятностью находится сводная характеристика:
или
,
(30)
При определении доверительного интервала возможно использование одно- и двусторонних границ:
- для односторонней границы:
,
(31)
,
(32)
- для двусторонних границ:
,
(33)
,
(34)
где t1 и t – квантили распределения Стьюдента при доверительной вероятности γ = 0,95, значения которых приведены в таблице 5.
Таблица 5.
К=n-1 |
t1 |
t |
Zн |
Zв |
K=n-1 |
t1 |
t |
Zн |
Zв |
2 |
2,920 |
4,303 |
0,578 |
4,42 |
29 |
1,699 |
2,045 |
0,825 |
1,28 |
3 |
2,353 |
3,182 |
0,620 |
2,92 |
40 |
1,684 |
2,021 |
0,847 |
1,23 |
4 |
2,132 |
2,776 |
0,649 |
2,37 |
50 |
1,676 |
2,009 |
0,861 |
1,20 |
9 |
1,833 |
2,262 |
0,729 |
1,65 |
100 |
1,660 |
1,984 |
0,897 |
1,13 |
19 |
1,729 |
2,093 |
0,794 |
1,37 |
∞ |
1,645 |
1,960 |
1,000 |
1,00 |
Доверительные границы для среднего квадратического отклонения σ определяются по следующим формулам, если число испытаний n<100:
,
(35)
,
(36)
Значения Zн и Zв определяются с помощью таблицы 5.
При К>100 значения Zн и Zв вычисляют по формулам:
,
(37)
,
(38)
Доверительные границы для коэффициента вариации определяются по формулам:
,
(39)
,
(40)
Значения Кн и Кв приведены в таблице 6.
Таблица 6.
N |
30 |
50 |
100 |
200 |
500 |
1000 |
Kн |
0,83 |
0,86 |
0,90 |
0,92 |
0,95 |
0,97 |
Kв |
1,27 |
1,20 |
1,13 |
1,10 |
1,06 |
1,03 |