Лабораторна робота № 1 Дослідження кіл змінного гармонічного струму.

Мета роботи: навчитись вимірювати діючі, амплітудні значення змінних струмів та напруг, зсуви фаз між струмами та напругами при гармонічному сигналі та будувати векторні діаграми.

Короткі теоретичні відомості.

Розглянемо основні терміни, що використовуються при описі змінних струмів та напруг. Ці терміни є одинакові що для струмів так і для напруг, тому їх ми надамо лише для струмів. Струм називають зміннним, якщо його значення змінюється в часі. Значення струму у фіксований момент часу називають миттєвим значенням струму: .

Особливе значення при аналізі процесів у електричних колах мають періодичні струми та напруги. Періодичними називають струми значення яких повторюються через проміжок часу : . Величину обернену до періоду називають частотою сигналу, яка вимірюється в герцах ( ). При розгляді періодичних струмі прийнято, крім миттєвих значень, використовувати їх інтегральні характеристики за час рівний періоду:

• середнє значення за період - ;

• діюче (середньоквадратичне значення за період) значення:

Серед періодичних сигналів особливе місце займають гармонічні струми миттєве значення яких змінюються за законом синуса чи косинуса, наприклад:

,

де - максимальне значення струму або амплітудне значення струму,

- фаза струму,

- початкова фаза,

- кругова частота.

Середнє значення гармонічного сигналу, очевидно, дорівнює нулю.

Діюче значення гармонічного струму дорівнює: ( ).

При розгляді усталених процесів у колах змінного гармонічного сигналів часто використовують векторне представлення струмів та напруг на площині в тому числі у вигляді векторів у комплексній площині. Якщо в Декартовій системі координат взяти вектор довжина якого дорівнює амплітудному значенню струму і вважати що він обертається у цій площині , наприклад, проти годинникової стрілки з кутовою частотою (рисунок 1) то значення струму можна зобразити як його проекцію на вісь чи : , .

Рис.1. Векторне зображення гармонічного струму.

Сукупність векторів, що відображають значення струмів та напруг у колі називають векторною діаграмою кола. Слід зауважити, що векторною діаграмою можуть бути зображені вектори струмів та напруг однакової частоти. Зображення струмів та напруг векторами є чисто умовним і базується лише на однозначному математичному співвідношенні між змінними у часі величинами і проекціями вектора, що обертається на осі координат. Застосування векторних діаграм дає можливість наочно зобразити зсуви фаз між струмами та напругами у колі та легко визначити суми чи різниці струмів та напруг шляхом додавання чи віднімання відповідних векторів.

Суттєву вигоду можна отримати при зображенні змінних гармонічних струмів на комплексній площині (рисунок 3):

, де називають комплексною амплітудою.

Рис.3. Комплексне зображення гармонічного струму.

Комплексний струм визначається як вектор в комплексній площині довжина якого дорівнює амплітуді струму, що обертається з кутовою швидкістю та початковою фазою і є комплексним зображенням дійсної гармонічної функції часу:

.

Саму синусоїдну функцію часу називають оригіналом по відношенню до її комплексного зображення.

Покажемо яким чином впливають операції диференціювання та інтегрування гармонічної функції струму на її комплексне зображення :

Таким чином, операції диференціювання та інтегрування як функції оригіналу так і її зображення приводить до зсуву фази сигналу на . Причому при диференціюванні отриманий вектор зображення випереджає початковий вектор на , а його довжина збільшується на , при інтегруванні отриманий вектор відстає від вихідного на , а його довжина в разів менша (рисунок 4).

Рис. 4. Зображення комплексних зображень векторів, що відповідають операція інтегрування та диференціювання.

Для розрахунку електричних кіл важливим є те, що при використанні комплексних зображень струмів та напруг операції диференціювання та інтегрування переходять в прості дії множення чи ділення цих зображень на одне і теж уявне число . Метод розрахунку електричних кіл, що базується на комплексних зображеннях гармонічної функції називають комплексним або символьним методом.

Розглянемо співвідношення між напругами та струмами на RLC елементах кола при гармонічному сигналі:

1. Напруга на резисторі згідно закону Ома визначається наступним чином:

. Тоді для діючих значень струму маємо: . Між комплексними зображеннями діючих значень струму та напруги на резисторі має місце аналогічна залежність: . Остання залежність визначає закон Ома для резистора при комплексних зображеннях струмів та напруг. Характерною особливістю напруги на резисторі та струму через резистор є те що вони співпадають по фазі. Тому вектори комплексних зображень струму через резистор та напруги на ньому співпадають по напрямку.

2. Аналогічно для діючого значення напруги на індуктивності можна

записати: ,

, де називають реактивним опором індуктивності.

Очевидно, що напруга на індуктивносі випереджає струм на кут . Або струм через індуктивність відстає від напруги на кут . Тому і вектори комплексних зображень струму та напруги на індуктивності зсунуті по фазі на кут (є в квадратурі).

3. Аналогічно для діючого значення напруги на ємності можна записати:

, де початкове значення напруги на ємності яке приймаємо рівним нулю.

Для комплексних зображень діючих значень струму та напруги на ємності маємо:

, де - називають реактивним опором ємності.

Значення напруги на ємності відстає від значення струму на кут , або значення струму через ємність випереджає напругу на цей же кут. Відповідно вектори комплексних зображень струму та напруги на ємності зсунуті між собою на кут .

Для комплексних зображень струмів та напруг справедливі закони Кіхгофа і Ома та правила знаходження сумарного опору при послідовному та паралельному з’єднанні елементів кола: , , , де - комплексний опір, який для резистора є дійсним числом що дорівнює опору резистора , для котушки індуктивності - , для конденсатора - .

Як приклад розглянемо схему послідовного з’єднання трьох елементів: резистора конденсатора та котушки індуктивності (рисунок 5).

Рис. 5. Послідовне з’єднання елементів.

Згідно закону Кірхгофа сума спадів напруг замкненого контура дорівнює нулю:

, де - сумарний опір послідовного з’єднання активного опору, котушки індуктивності та конденсатора. Значення сумарного опору можна записати наступним чином:

, де ,

Модуль сумарного опору визначає співвідношення діючого значення вхідної напруги та діючого значення струму в конурі, а - зсув фаз між вхідною напругою та струмом у колі . На рисунку 6 показана векторна діаграма струмів та напруг у цьому колі. Побудову векторної діаграми починають з вектора струму у колі з довільною початковою фазою .

Рис.6. Векторна діаграма струмів та напруг.

При використанні поняття комплексного опору і комплексних зображень для розрахунку струмів та напруг у колах при гармонічному сигналі можна застосовувати методи, аналогічні методам розрахунку кіл постійного струму – метод суперпозиції, метод вузлових напруг, метод контурних струмів.

Завдання.

1. Для заданого викладачем кола (таблиця 3), номіналів елементів (таблиця 4) та параметрів вхідного сигналу розрахувати значення струмів та напруг та зсуву фаз між вхідним струмом та напругою. Побудувати векторну діаграму струмів та напруг заданого кола.

2. Виміряти значення напруг, струмів та зсувів фаз у колі. Побудувати векторну діаграму струмів та напруг заданого кола на основі виміряних величин.

3. Провести порівняльний аналіз розрахованих та виміряних величин та зробити відповідні висновки.