5.3.4. Синтез кс в базисах «и-не», «или-не»

Реализация КС в базисе И-НЕ без ограничения на число входов ЛЭ достаточно проста. Пусть булева функция задана в ДНФ.

,

где означает либо либо . Выполним преобразование:

.

Применяя правила Де Моргана, получим

.

Таким образом, булева функция, заданная в ДНФ может быть реализована в базисе «И-НЕ» трехранговой КС. Первый ранг – двухвходовые элементы, играющие роль инверторов; второй ранг – элементы, реализующие элементарные дизъюнкты; третий ранг – объединительный элемент.

Для выражения из примера 5.28 имеем

,

.

Комбинационная схема в базисе «И-НЕ» приведена на рис. 5.24.

Рис. 5.24. Схема в базисе «И-НЕ» без ограничений на количество входов

Для синтеза КС в базисе «ИЛИ-НЕ» удобно использовать выражение для , полученное при минимизации по нулям.

Пример 5.31. Для задания из примера 5.24 имеем

,

,

.

Схема приводится на рис. 5.25.

Рис. 5.25. Схема в базисе «ИЛИ-НЕ»

Если наложено требование, ограничивающее число входов ЛЭ до двух, для реализации сложных термов можно использовать преобразования:

,

.

При реализации сложных термов одинаковые пары переменных реализуются на одном элементе, например

.

В данном примере части выражения в скобках будут реализованы один раз (на трех элементах «И-НЕ», два из них в роли инвертора), соответствие между выражением и КС обеспечивается посредством связей (с выхода последнего элемента, реализующего выражения в скобках (точка V схемы рис. 5.26б), будут исходить две связи в соответствии со структурой выражения). Схема данных фрагментов КС приводится на рис. 5.26, схема без ограничения на число входов приводится на рис. 5.26а (С=10), схема на двухвходовых элементах «И-НЕ» приводится на рис. 5.26б (С=12).

а) б)

Рис. 5.26. Схемы в базисе «И-НЕ»

Примеры, применяемые при реализации КС на базе двухвходовых элементов «ИЛИ-НЕ», аналогичны описанным.

5.3.5. Реализация кс в базисе Жегалкина

Как было рассмотрено ранее, базис Жегалкина соответствует сигнатуре .

Если булева функция задана в СДНФ, переход к базису Жегалкина достаточно прост. В выражении СДНФ знак «» (или) можно заменить на « » (исключающее или). Данная замена вполне правомочна, поскольку в СДНФ при определенном наборе аргументов только один терм может давать истинное выражение.

Пример 5.32. Представить в базисе Жегалкина и построить КС для булевой функции, заданный СДНФ:

, отсюда

.

Используя, что , выполним замены:

Учитывая, что , получим

.

Выражение упрощается посредством вычеркивания одинаковых термов, если они повторяются в выражении четное число раз. Реализация КС показана на рис 5.27.

Рис. 5.27. Схема в базисе Жегалкина

Имея выражения для булевой функции в произвольной ДНФ (конечно лучше иметь минимальную форму), для перехода к базису Жегалкина можно использовать соотношение

. (5.29)

Пример 5.33. Для предыдущего примера ,

.

Реализация в виде КС приведена на рис. 5.27.