Минимизация не полностью определенных булевых функций

Определение 28. Не полностью определеной булевой функцией будем называть булеву функцию, значения которой не заданы для некоторых наборов аргументов.

Пусть булева функция не определена на наборах аргументов, данной функции можно поставить в соответствие булевых функций. Полностью определенная булева функция считается эквивалентной функции в том случае, если ее значения совпадают со значениями , где определена.

Введем в рассмотрение две функции и . на тех наборах, где не определена; , где не определена. Для использования метода Квайна-Мак-Класки для минимизации не полностью определенных функций докажем теорему.

Теорема 10. Минимальная ДНФ не полностью определенной булевой функции совпадает с дизъюнкцией самых коротких импликант , которые совместно покрывают все 0-кубы функции и ни одна из которых (импликант) не является избыточной.

Доказательство: Рассмотрим какую-либо эквивалентную функцию . Очевидно, что для любой функции , т.е. любая импликанта функции будет всегда поглощать импликанты функции либо совпадать с ней. Из этого следует, что импликанты функции будут являться более короткими по длине. Так же очевидно, что из всех эквивалентных булевых функций имеем наименьшее количество 0-кубов, т.е. . Таким образом, используя для нахождения покрывающих импликант и покрывая 0-кубы из , мы найдем минимальное покрытие для функции .

Теорема доказана.

Не полностью определенная булева функция задается двумя множествами: множеством истинных значений и множеством неопределенных значений . Рассмотрим пример минимизации не полностью определенной функции методом Квайна-Мак-Класки.

Пример 5.25.

0 0 0 1 0 0 0 0

0

0 1 0 0 1 0 0

1 0 0 0 1 0 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1

Отсюда

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 0

3 0 1 0 0

4 1 0 0 0

5 1 0 0 1

6 1 1 1 0

7 1 1 1 1

1 0 0 0 х 0 – 1

2 0 0 х 0 0 – 2

3 0 х 0 0 0 – 3

4 х 0 0 0 0 – 4

5 х 0 0 1 1 – 5

6 1 0 0 х 4 – 5

7 1 1 1 х 6 – 7

0 0 х 0

0 х 0 0

1 1 1 х

х 0 0 х

Таблица 5.4

	0 0 0 1	0 0 1 0	1 0 0 0	1 1 1 0	1 1 1 1
0 0 х 0		1
0 х 0 0
1 1 1 х				1	1
х 0 0 х	1		1

В данном случае вторая строка, соответствующая импликанте 0х00, вычерчивается, остальные импликанты существенные, таким образом:

0 0 х 0

1 1 1 х .

х 0 0 х

.

Карты Карно являются удобным средством минимизации булевых функций также для не полностью определенных функций.

Неопределенные значения наносятся на карту Карно и помечаются знаком, отличным от «0» и «1», например «–». Ячейки, соответствующие неопределенным значениям, могут быть использованы для создания групп смежных единиц (или нулей), при этом необходимо покрыть только истинные значения (или только ложные при нахождении минимальной формы по нулям). Ячейки, соответствующие неопределенным значениям, могут и не включаться в группы. Другими словами, с ячейками, помеченными «– », можно поступать как нам удобно, если удобно – включаем в группу, если нет – не включаем.

Пример 5.26. Не полностью определенная функция четырех переменных задана на карте Карно (рис. 5.17), произвести ее минимизацию.

х₂

1 х1	1	1	-
1	1		х3
-	-	-	1
1	1	-

х₄

Рис. 5.17. Минимизация не полностью определенной функции

по карте Карно

.

В данном случае одно неопределенное значение не входит ни в одну из групп. Данная функция не зависит от x₄.