Методы минимизации функций алгебры логики.

Цель работы: получение практических навыков минимизации функций алгебры логики в классе ДНФ графическими и таблично-аналитическими методами.

Теоретическая справка Основные определения

Буква - переменная или ее отрицание.

Элементарная конъюнкция – конъюнкция, в которой каждая буква встречается не более одного раза.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) – дизъюнкция элементарных конъюнкций.

Ранг элементарной конъюнкции – количество переменных, которые ее образуют.

Дизъюнктивная совершенная нормальная форма (ДСНФ) – ДНФ, состоящая из конъюнкций ранга , где – количество переменных.

Суммарный ранг ДНФ(R) – сумма рангов конъюнкций ДНФ.

Минимальная ДНФ – ДНФ, имеющая наименьший суммарный ранг R по сравнению с другими ДНФ, эквивалентными данной функции.

Минимизация фал на кубе

Рассмотрим проблему минимизации для геометрического способа задания ФАЛ на кубе. Сопоставим различным геометрическим элементам куба (вершинам, ребрам, граням и кубу) конъюнкции различных рангов. Сумма размерности геометрического эквивалента и ранга конъюнкции, ему соответствующей равна числу аргументов ФАЛ.

Каждый геометрический элемент меньшей размерности покрывается геометрическими элементами большей размерности.

Каждая конъюнкция большего ранга покрывается всеми конъюнкциями меньшего ранга.

Геометрические эквиваленты называют интервалами.

Интервал L-го ранга – подмножество вершин куба, соответствующих конъюнкции ранга L.

Например:

Конъюнкции соответствует 4 вершины: 100, 101, 110, 111.

На кубе отмечают вершины, где ФАЛ равна 1. Эти вершины образуют подмножество Т₁. Для того, чтобы задать ДНФ на кубе, необходимо задать покрытие всех вершин.

Максимальный интервал J – интервал, для которого не существует никакого другого интервала J’ с рангом меньше, чем у J, и такого, что выполняется следующее соотношение .

Например:

Пусть ФАЛ задана множеством .

ДСНФ .

Ранг ДСНФ равен .

Определим множество интервалов: .

Ранг равен , а для интервалов и ранг равен двум. Интервалы и являются максимальными, а интервал не является максимальным, так как и ранг меньше ранга .

На рисунке отмечены максимальне интервалы.

Сокращенная ДНФ (СДНФ) – ДНФ, которая соответствует покрытию множества Т₁ всеми максимальными интервалами.

Минимальная ДНФ получается из СДНФ путем выбрасывания из покрытия множества Т₁ максимальными интервалами некоторых “лишних” интервалов.

Задача о минимизации ФАЛ рассматривается как задача о нахождении минимальной ДНФ. Необходимо найти покрытие множества , при котором будет минимальным

,

где – ранги всех интервалов, что составляют покрытие для данной ФАЛ.

Пункты решения задачи о минимизации фал

1. Построение сокращенной ДНФ для заданной функции.

2. Удаление из СДНФ "лишних" максимальных интервалов.

Например.

1) ФАЛ задана множеством . Найти ДСНФ, СДНФ та МДНФ.

Решение.

ДДНФ , R=12.

СДНФ=МДНФ , R=7.

2) ФАЛ задана множеством . Найти ДСНФ, СДНФ и МДНФ.

Решение.

ДСНФ , .

СДНФ , .

МДНФ , .

3) ФАЛ задана множеством . Найти ДСНФ, СДНФ и МДНФ.

Решение.

ДСНФ , .

СДНФ , .

МДНФ1 , .

МДНФ2 , .

Минимальная форма определяется неоднозначно, то есть может существовать несколько различных минимальных форм. В данном случае ФАЛ имеет две разные минимальные дизъюнктивные нормальные формы, очевидно, что суммарный ранг у них одинаковый и равен .