1.4 Марковские случайные процессы

При исследовании различных операций с точки зрения выбора оптимального решения часто возникают ситуации, когда обстановка приведения операции характеризуется случайными неконтролируемыми факторами. В этом случае операция развивается по схеме случайного процесса, протекание которого зависит от сопровождающих операцию случайных факторов.

Количественно случайный процесс описывается случайной функцией времени t, которая может принимать различные значения с заданным распределением вероятностей. Т.о. для любого t=ti значение является случайной величиной.

Случайный процесс определяется совокупностью функций времени и законами, характеризующими свойства этой совокупности. Каждая из функций этой совокупности называется реализацией случайного процесса. Реализация обозначается

В зависимости от того, принадлежат ли возможные значения времени t и реализации дискретному множеству чисел или интервалу действительных чисел, различают четыре типа случайных процессов:

1. Случайный процесс общего типа:    могут принимать любые значения.

2. Дискретный случайный процесс: t-непрерывно, а значения       дискретны.

3. Случайная последовательность общего типа: t-дискретно, а       принимает любые значения.

4. Дискретная случайная последовательность:   дискретны.

Для описания случайного процесса используют функции распределения:

одномерная интегральная функция распределения вероятностей случайного процесса и плотность вероятности . Функции F1(x1,t1) и f(x1,t1) являются простейшими характеристиками, т.к. описывают случайный процесс в фиксированные моменты времени. Для более полной характеристики случайного процесса необходимо знать связь между вероятными значениями случайной функции в произвольные моменты времени t1, t2, : tn.

Определим n-мерную функцию распределения вероятностей случайного процесса Если Fn() имеет частные производные то эта производная называется n-мерной плотности вероятности случайного процесса. Имеет место очевидное равенство -условие плотности вероятности, которое зависит от значений случайного процесса в предшествующие моменты времени начиная с начального момента времени t1 и кончая моментом tn-1. Случайный процесс будет марковским, если выполняется условие В этом случае Условная плотность вероятности называется плотностью вероятности перехода. Если плотность вероятности перехода зависит от разности и не зависит от конкретных значений ti, ti-1 то такой процесс называется однородным. В исследовании операций большое значение имеют так называемые марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. В этом случае все его возможные состояния Q1,Q2,... можно перенумеровать. Переход из состояния в состояние происходит мгновенно, а моменты времени переходов являются случайными.

2 Расчет предметных вероятностей

2.1 Задача 1

1

3

3

3 2 1 4

2

4

Рисунок 7

Решение:

3p1=3p2+3p3;

4p2=p1+4p4;

5p3+2p1+4p4;

8p4=2p3+p2;

P1+p2+p3+p4=1;

Решаем систему уравнений методами Гаусса

1 -4 0 4 0

2 0 -5 4 0

0 1 2 -8 0

1 1 1 1 1

Занулили 1-ый стролбец

1 -4 0 4 0

0 8 -5 -4 0

0 1 2 -8 0

0 5 1 -3 1

Нашли единицу в 2-ом столбце и поменяли местами 3-ю и 2-ую строки

1 -4 0 4 0

0 1 2 -8 0

0 8 -5 -4 0

0 5 1 -3 1

З анулили 2-ой стролбец

1 0 8 -28 0

0 1 2 -8 0

0 0 -21 60 0

0 0 -9 37 1

Получили единицу в 3-ем столбце раделив 3-ю строку на -21

1 0 8 -28 0

0 1 2 -8 0

0 0 1 -20/7 0

0 0 -9 37 1

Занулили 3-ий стролбец

1 0 0 -36/7 0

0 1 0 -16/7 0

0 0 1 -20/7 0

0 0 0 79/7 1

Ответ:

p1 = 0,4556 p2 = 0,2025 p3 = 0,2531 p4 = 0,0886

Рисунок 8- Решение задачи 1, с помощью метода Гаусса

Решение задачи с помощью электронной таблицы Excel представлены на рисунке 9. Формулы для решения задачи представлены на рисунке 10. Решение задачи с помощью программы Mathcad Professional представлены на рисунке11.

Рисунок 9-Решение задачи с помощью электронной таблицы Excel

Рисунок 10-Формулы для решения задачи

Решение задачи с помощью программы Mathcad Professional представлены на рисунке11