§ 6. Однородные системы линейных уравнений.
Однородная система
всегда совместна, т.к. имеет нулевое
решение: X =
.
Если rang A = n, то система имеет только нулевое решение.
Если rang A < n, то система имеет еще и ненулевые решения.
В случае, когда число уравнений системы равно числу неизвестных (m = n), эти условия означают следующее:
если det A ≠ 0, то система имеет только нулевое решение;
если det A = 0, то система имеет еще и ненулевые решения.
Общее решение однородной системы линейных уравнений имеет вид:
X = c1 X1 + c2 X2 + … + c n - r X n - r ,
где X1, X2, … , X n - r - фундаментальная система решений (ФСР), c i произвольные числа, r = rang A.
Пример. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и сделать проверку.
Указать ФСР (фундаментальную систему решений).
Применим метод Гаусса. n = 5 - число неизвестных.
A =
[из 2-й строки
вычтем 1-ю строку, умноженную на 3; из 3-й
строки вычтем 1-ю строку; из 4-й строки вычтем 1-ю строку, умноженную на 2]
[из 2-й и 3-й строки вычтем 4-ю строку,
умноженную на 2]
[переставим 2-ю и 4-ю строку]
r = rang A = 2, n - r = 3.
,
- базисные переменные,
,
,
- свободные переменные.
= c1, = c2, = c3, где c1, c2, c3 - произвольные числа.
= 7c1 - 25c2
+ 4c3
=
(7c1
- 25c2 + 4c3).
Введем новые обозначения: С1 = c1, С2 = c2, С3= c3. Тогда получим:
= 8С 1, =8С 2, = 8С 3, = 7С 1 - 25С2 + 4С3,
= 5(7С 1 - 25С2 + 4С3) - 28С 1 + 168С 2 - 38С 3 = 19С 1 + 3С2 - 4С3.
Общее решение:
,
С1, С2, С3
R.
Проверка.
1-е уравнение:
(
)
=
-
=
- верное равенство.
Аналогично проверяются остальные 3 равенства.
Общее решение:
X =
=
+
+
;
ФСР:
.
Задачи по теме 3.
. Решить системы линейных уравнений по формулам Крамера.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
. Решить системы линейных уравнений матричным способом.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса:
− исследовать систему по теореме Кронекера-Капелли;
− если система совместна, то найти общее решение в матричном виде и сделать проверку;
− если система совместна и неопределенна, то указать 3 частных решения в матричном виде.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
. Для однородной системы линейных уравнений найти общее решение в матричном виде и
сделать проверку. Указать фундаментальную систему решений.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Дополнительные задачи.
1. Найти многочлен P (x) 2-й степени, удовлетворяющий условиям: P (1) = -1, P (-1) = 9, P (2) = -3.
2. Найти многочлен P (x) степени не выше 2-х, удовлетворяющий условиям:
, где
,
,
,
,
,
- заданные числа (
,
,
- различные числа).
Следующие системы линейных уравнений исследовать на совместность и определенность в зависимости от значений λ, указать число базисных переменных r и число свободных переменных n - r:
3.
4.
5.
6.
Определить значения a, при которых однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения:
7.
8.
Найти фундаментальную систему решений (ФСР) следующих однородных систем линейных уравнений:
9.
10.
Найти общее решение следующих систем линейных уравнений:
11.
12.
О Т В Е Т Ы К З А Д А Ч А М