§ 4. Исследование систем линейных уравнений.

( )

A = - основная матрица системы ( ),

(A|B)= - расширенная матрица системы ( ).

Теорема Кронекера-Капелли.

Для того чтобы система ( ) была совместной (т.е. имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы был равен рангу расширенной матрицы системы:

( ) - совместна  rang A = rang (A|B).

Пусть r = rang A = rang (A|B). Тогда:

1) при r = n система является определенной (т.е. имеет единственное решение);

2) при r < n система является неопределенной (т.е. имеет бесконечно много решений).

Пример. Исследовать систему:

(A|B)=  [из 1-й строки вычтем 3-ю строку, умноженную на 3; из 2-й

строки вычтем 3-ю строку, умноженную на 2]  

[1-ю строку разделим на (-4); 2-ю строку разделим на (-3)]  

[из 1-й строки вычтем 2-ю строку]   [переставим 1-ю и 3-ю строки]

  [переставим столбцы]  .

Основная и расширенная матрица приведены к ступенчатым матрицам с 3-мя ненулевыми

строками. Следова тельно: rang A = rang (A|B) = r = 3.

По теореме Кронекера-Капелли система совместная. Так как r < n = 4, то система неопределенная.

Ответ: система является совместной и неопределенной (т.е. имеет бесконечно много решений).

§ 5. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

( )

Метод Гаусса состоит из 2-х этапов.

1-й этап (прямой ход метода Гаусса):

Элементарными преобразованиями над расширенной матрицей система ( ) приводится к равносильной ей системе со ступенчатой расширенной матрицей.

2-й этап (обратный ход метода Гаусса):

Решается полученная равносильная система путем последовательного вычисления неизвестных, начиная с последнего уравнения.

Пример. Найти общее решение и сделать проверку; если система совместная и неопределенная, то указать 3 частных решения:

В предыдущем примере эта система была исследована: она является совместной и неопределенной: r = 3, n = 4. Расширенная матрица равносильной системы имеет вид:

Прямой ход метода Гаусса привел к равносильной системе: