§ 4. Вычисление модуля, направляющих cos - ов и проекций векторов.
Из свойства скалярного произведения: = - следует формула:
Пусть известны
координаты вектора
в О.Н.Б. {
}:
.
Тогда
= x2 + y2
+ z2 и
Направляющие углы вектора - это углы, которые образует данный вектор с осями координат:
α
=
,
β =
,
γ =
.
Косинусы этих углов - направляющие косинусы данного вектора: cos α, cos , cos .
x = = cos α, y = = cos , z = = cos
Направляющие косинусы вектора являются координатами орта данного вектора:
=
Пример.
=
=
,
,
.
Из геометрического смысла скалярного произведения имеем:
= , = .
Пусть известны
координаты векторов
и
в О.Н.Б. {
}:
,
.
Тогда:
=
,
=
Пример.
,
.
=
=
=
=
=
=
Задачи по теме 3.
. Построить
вектор
в прямоугольной декартовой системе
координат и указать его направляющие
углы. Найти модуль и направляющие cos-ы
вектора
.
1.
2.
3.
4.
5.
6 .
7.
8 .
9.
10.
11.
12.
. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат:
и
.
Вычислить:
1) скалярное произведение
2) проекции
,
3) векторное произведение
4) площадь
параллелограмма, построенного на этих
векторах
1.
,
2.
,
3.
,
4.
,
5.
,
6.
,
7.
,
8.
,
9.
,
10.
,
11.
,
12.
,
. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат:
,
,
.
Требуется:
1) вычислить смешанное
произведение
2) определить ориентацию этих
векторов
3) найти объем
параллелепипеда, построенного на этих
векторах
1.
,
,
2.
,
,
3.
,
,
4.
,
,
5.
,
,
6.
,
,
7.
,
,
8.
,
,
9.
,
,
10.
,
,
11.
,
,
12.
,
,
. Даны векторы в прямоугольной декартовой системе координат. Векторы и
являются линейными комбинациями этих векторов. Определить:
- при каких значениях α и β векторы и будут коллинеарны (№ 1 ÷ 4)
- при каких значениях λ векторы и будут ортогональны (№ 5 ÷ 8)
- при каких значениях λ векторы , и будут компланарны (№ 9 ÷ 12)
1.
= 2
+ 4
,
= 3
-
,
,
2.
=
+ 2
,
= 3
-
,
,
3.
= 5
+ 3
,
= 2
-
,
,
4.
= -2
+
,
= 3
- 2
,
,
5.
=
-
,
= 4
+ 2
,
,
6.
=3
- 2
,
= -2
+
,
,
7.
= 2
-
,
= -
+ 3
,
,
8.
= 2
- 3
,
= 2
+
,
,
9.
,
,
10.
,
,
11.
,
,
12.
,
,
Дополнительные задачи.
1. Прямоугольная
декартова система координат OXY
на плоскости получена из прямоугольной
декартовой системы координат OXY
параллельным переносом на вектор
.
Произвольная точка M
на плоскости имеет координаты (x,
y) в одной системе
координат и (x,
y)
- в другой системе координат. Найти связь
между этими координатами.
, M(x, y), M(x, y)
2. Прямоугольная декартова система координат OXY на плоскости получена из прямоугольной декартовой системы координат OXY путем поворота осей на угол . Произвольная точка M на плоскости имеет координаты (x, y) в одной системе координат и (x, y) - в другой системе координат. Найти связь между этими координатами.
, M(x, y), M(x, y)
3. Даны векторы
в прямоугольной декартовой системе
координат:
,
,
.
Найти координаты вектора
,
если известно, что
= -5,
= -11,
= 20.
4. Даны векторы
в прямоугольной декартовой системе
координат:
,
.
Найти координаты вектора
,
если известно, что
,
,
= 14.
4. Геометрические задачи.