4.2. Дифференцирование степенного ряда

Теорема 1. Пусть ( –R,R) есть интервал сходимости для степенного ряда

. (7.54)

Тогда ряд, полученный из (7.54) в результате почленного дифференцирования

(7.55)

имеет тот же самый интервал ходимости (–R,R).

Другими словами: при почленном дифференцировании степенного ряда его радиус сходимости не изменяется.

Доказательство. Для доказательства удобнее рассмотреть вместо (7.55) степенной ряд

(7.56)

который получается из (7.55) умножением всех его членов на x. Очевидно, что ряды (7.55) и (7.56) либо оба сходятся, либо оба расходятся. Найдем радиус сходимости R₁ ряда (7.56), пользуясь формулой (7.47), причем здесь вместо c_n имеем nc_n = C_n, вместо c_n−1 соответственно (n − 1) c_n−1= C_n−1. Значит

_.

Отсюда получаем, что R₁ = R = . Теорема доказана.

Последовательное применение последней теоремы дает, что, дифференцируя почленно любое число раз заданный степенной ряд, каждый раз получаем степенной ряд с тем же радиусом сходимости, что и исходный степенной ряд.

Теорема 2. Пусть (–R,R) есть интервал сходимости, а функция S(x) сумма степенного ряда (7.54). Тогда, если обозначить через L(x) сумму степенного ряда (7.55), полученного почленным дифференцированием ряда (7.54), то всюду в интервале сходимости (–R,R) степенного ряда (7.54) справедливо равенство S'(x) = L(x).

Другими словами: равенство

(7.57)

в интервале сходимости (–R,R) степенного ряда можно дифференцировать

(7.58)

Доказательство. Согласно предыдущей теореме интервал сходимости степенного ряда (7.55), полученного почленным дифференцированием степенного ряда (7.54) также составляет (–R,R). Выберем число ρ так, чтобы 0 < ρ < R. По способу выбора числа ρ сегмент [−ρ,ρ] целиком лежит в интервале (–R,R), а тогда степенной ряд (7.55), составленный из непрерывных производных функций ряда (7.54) сходится в [−ρ,ρ] равномерно. Этим самым установлено, что в [−ρ,ρ] выполняются все условия теоремы о возможности дифференцирования суммы функционального ряда (гл.7, §3, п.3.2) и по этой теореме функция S(x) дифференцируема в [−ρ,ρ] и в этом сегменте справедливо равенство (7.58).

Ввиду того, что любая точка интервала (–R,R) может быть поглощена сегментом [−ρ,ρ], если выбрать ρ достаточно близко к R, то отсюда следует возможность дифференцирования равенства (7.57) всюду в интервале (–R,R) с сохранением равенства (7.58).

Последовательное применение последней теоремы приводит к такому важному следствию.

Следствие. Функция f(x), являющаяся суммой степенного ряда (7.54) радиус сходимости, которого R > 0, имеет в каждой точке интервала сходимости (–R,R) производные всех порядков f'(x), f''(x), …, f⁽ⁿ⁾(x), … причем эти последовательные производные являются суммами соответствующих степенных рядов, получающихся в результате последовательного почленного дифференцирования исходного степенного ряда (7.54)

_.

4.3. Интегрирование степенного ряда

Теорема. Если степенной ряд (7.54) имеет радиус сходимости R > 0, и сумму f(x), то ряд, полученный в результате почленного интегрирования ряда (7.54), т.е. степенной ряд

(7.59)

имеет тот же самый радиус сходимости R и его сумма в (–R,R) равна .

Доказательство. Выберем число ρ так, чтобы 0 < ρ < R и далее ограничимся рассмотрением сегмента . Но сегмент [−ρ,ρ] целиком лежит в интервале (–R,R), а потому в этом сегменте степенной ряд (7.54), составленный из непрерывных функций сходится равномерно. Это означает, что ряд (7.54) в сегменте [−ρ,ρ] можно почленно интегрировать (см. гл.7, §3, п.3.1) и при этом справедливо равенство

.

Откуда, после интегрирования в правой части, получаем

. (7.60)

Число ρ можно выбрать сколь угодно близким к R, а потому равенство (7.60) справедливо, если –R < x < R.

Радиус сходимости степенного ряда (7.59) в правой части равенства (7.60) не может быть больше, чем радиус сходимости R исходного степенного ряда (7.54). Действительно, если предположить, что радиус сходимости степенного ряда (7.59) равен R₁ и что R₁ ≠ R, то, почленно дифференцируя степенной ряд (7.59), получим исходный степенной ряд (7.54) с тем же радиусом сходимости R₁, но радиус сходимости ряда (7.54) равен R. Полученное противоречие явилось следствием неверного предположения, что R₁ ≠ R. Значит R₁ = R. Теорема доказана.