§4. Степенные ряды

Важным классом функциональных рядов, как в теории, так и для практического применения, являются степенные ряды. Степенным рядом называется ряд следующего вида

_. (7.35)

Здесь c₀,c₁,…,c_n,… суть постоянные числа и называются коэффициентами степенного ряда. Следует отметить, что для общего члена ряда индекс n принимает значения 0, 1, 2, ...

Если в степенном ряде (7.35) произвести замену переменной путем переноса начала новой оси Оx в точку a старой оси, то степенной ряд в результате такой замены приводится к более простому виду

(7.36)

Это обстоятельство легко позволяет распространить свойства степенных рядов вида (7.36) на степенные ряды общего вида (7.35). Заметим, что степенной ряд вида (7.36) всегда сходится при x = 0, а (7.35) – при x = a. Изучение степенных рядов начнем с установления важной теоремы Абеля.

4.1. Сходимость степенного ряда

4.1.1. Теорема Абеля

Теорема Абеля. Если степенной ряд (7.36) сходится в точке x = ξ, (ξ ≠ 0), то этот степенной ряд сходится и притом абсолютно при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству

. (7.37)

(Другими словами степенной ряд (7.36) сходится и притом абсолютно, всюду в интервале ).

Доказательство. Пусть x − любое число, удовлетворяющее неравенству (7.37). Тогда можно найти такое число q (0,1), что

_. (7.38)

Докажем, что при таком значении x ряд (7.36) сходится абсолютно. Для этого необходимо доказать сходимость ряда

. (7.39)

Но, в силу равенства ряд (7.39) можно записать так

. (7.40)

Подставим сюда по формуле (7.38) и тогда получим новую форму ряда (7.39) или (7.40)

. (7.41)

Согласно условию теоремы числовой ряд сходится. Значит, для этого ряда выполнен необходимый признак сходимости, т.е. . А это означает, что последовательность стремится к пределу и ограничена, т.е. можно найти такое число M > 0, что для всякого члена этой последовательности выполнено неравенство . В силу этого неравенства ряд

(7.42)

является мажорантой ряда (7.41). Но последний ряд (7.42) получен из ряда

(7.43)

умножением всех членов ряда (7.43) на число М. Ряд же (7.43) есть геометрическая прогрессия и так как 0 < q < 1, то (7.43) сходится. Но тогда сходится и ряд (7.42). По признаку сравнения сходимость (7.42) распространяется на ряд (7.41). Но (7.39), (7.40) и (7.41) один и тот же ряд и, следовательно, ряд (7.39) сходится. Теорема доказана.

Следствие. Если степенной ряд (7.36) расходится в точке x = η, то этот ряд расходится и при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству .

Прежде всего, η ≠ 0, так как при η = 0 степенной ряд (7.36) сходится. Для определенности пусть η > 0. Тогда ясно, что вне сегмента [−η,+η] степенной ряд (7.36) расходится. Действительно, если предположить, что в некоторой точке степенной ряд (7.36) сходится, то по теореме Абеля, этот степенной ряд должен сходиться и в сегменте , содержащем точку η. Значит предположение о том, что в точке ряд (7.36) сходится, влечет за собой сходимость этого ряда и в точке , что противоречит условию.