4.1.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Напомним, что в примере 1 (гл.6, §5, п.5.1) был рассмотрен степенной ряд вида , который сходится при всех значениях x. Там же в примере 2 был рассмотрен степенной ряд , который сходится только при одном значении x = 0, а при остальных значениях x расходится. Наконец, в примере к гл.6, §2 был рассмотрен степенной ряд (геометрическая прогрессия), который сходится только в интервале (–1,+1), а вне этого интервала расходится.

Приведенные три примера дают основание для разбиения всех степенных рядов

(7.44)

на три типа

I. Степенной ряд (7.44) называется степенным рядом первого типа, если он сходится только при x = 0, а при всех остальных значениях x расходится.

II. Степенной ряд (7.44) называется степенным рядом второго типа, если при некоторых значениях x ≠ 0 он сходится, но существуют такие конечные значения х, при которых ряд (7.44) расходится.

III. Степенной ряд (7.44) называется степенным рядом третьего типа, если он сходится при всех значениях x.

Оставляя пока в стороне степенные ряды первого и третьего типов, будем рассматривать степенные ряды второго типа.

Теорема. Для всякого степенного ряда (7.44) второго типа существует такое конечное и положительное число R, что в каждой точке интервала (–R,R) ряд сходится, но всюду вне интервала (–R,R) ряд расходится. Интервал (–R,R) называется интервалом (или промежутком) сходимости, а положительное число R радиусом сходимости степенного ряда.

Концы интервала (–R,R) могут быть точками, как сходимости, так и расходимости ряда.

Доказательство. По определению степенного ряда второго типа найдется такое значение x = a (a ≠ 0), что при этом значении x ряд (7.44) сходится и такое значение x = b, при котором ряд (7.44) расходится. Для определенности, считаем a > 0 и b > 0. Тогда по теореме Абеля и по следствию из нее степенной ряд сходится в интервале (−a,a) и расходится вне сегмента [−b,b] (рис.77). В интервалах (−b, −a) и (a,b) поведение ряда остается неопределенным.

Рис. 77

Разобьем сегмент [a,b] точкой x = c на два равных сегмента [a,c] и [c,b]. В точке x = c ряд (7.44) либо сходится, либо расходится. Если ряд (7.44) сходится в точке x = c, то по теореме Абеля в интервале (−с,с) он сходится, а вне этого интервала он расходится (рис.78). Следовательно, область сходимости расширилась, а область неопределенного поведения степенного ряда (7.44) сократилась вдвое, причем на левом конце сегмента [c,b] ряд сходится, а на правом расходится.

Рис. 78

Если же в точке x = c ряд (7.44) расходится, то по следствию из теоремы Абеля он расходится всюду вне сегмента [−c,c] (рис.79)

Рис. 79

и сходится в интервале (−a,a). Значит, в этом случае расширилась область расходимости, а область неопределенного поведения степенного ряда (7.44) также сократилась вдвое, причем на левом конце сегмента [a,с] ряд (7.44) сходится, а на правом расходится.

Обозначим через [a₁,b₁] тот из двух сегментов [a,с], [c,b], на левом конце которого ряд (7.44) сходится, а на правом расходится. Сегмент [a₁,b₁] совпадает с [c,b] в первом случае и с [a,c] во втором и имеет длину, равную . Из изложенного также следует, что в интервале (a₁,b₁) поведение ряда (7.44) является неопределенным. На этом первый цикл рассуждений завершен.

Во втором цикле рассуждений повторяются рассуждения первого, только роль сегмента [a,b] выполняет сегмент [a₁,b₁]. Разбиваем [a₁,b₁] точкой x = c₁ на два равных сегмента [a₁,с₁] и [с₁,b₁] и обозначаем через [a₂,b₂] тот из них, у которого на левом конце ряд (7.44) сходится, а на правом расходится. Сегмент [a₂,b₂] имеет длину равную . Повторяя эти циклы рассуждений, неограниченное число раз, получим бесконечную последовательность сегментов

[a,b], [a₁,b₁], [a₂,b₂], …, [a_n,b_n], …, (7.45)

которые обладают следующими свойствами:

1) на левом конце каждого из сегментов ряд (7.44) сходится, а на правом расходится;

2) каждый из сегментов, начиная со второго, вложен в предыдущий;

3) длины сегментов образуют последовательность

(7.46)

стремящуюся к нулю ;

4) существует единственная точка x = R, принадлежащая каждому из этих сегментов.

Покажем, что число R есть радиус сходимости ряда (7.44). Для этого на оси Ox образуем интервал (–R,R) (рис.80) и докажем, что в каждой точке интервала (–R,R) ряд (7.44) сходится, а вне интервала (–R,R) ряд расходится.

Рис. 80

Пусть x любая внутренняя точка интервала (–R,R) (рис.80). Тогда, где бы ни лежала эта точка x в интервале (–R,R), всегда можно указать такое положительное число ρ, 0 < ρ < R, что сегмент [−ρ,ρ] содержит точку x, . Обозначим разность R − ρ > 0 через ε: ε = R − ρ. Теперь, так как последовательность (7.46) стремиться к нулю, то найдется такой сегмент [a_n,b_n], содержащий точку x = R (как и все последующие сегменты последовательности сегментов (7.45) длина которого меньше ε. Отсюда заключаем, что точка x = ρ окажется левее сегмента [a_n, b_n] (рис.80). Но на левом конце этого сегмента, как отмечалось, ряд (7.44) сходится, а тогда по теореме Абеля он сходится в интервале (−a_n,a_n). Сегмент [−ρ,ρ] содержится внутри интервала (−a_n,a_n) (рис.80), а потому ряд (7.44) сходится в сегменте [−ρ,ρ].

Напомним, что точка x лежит в сегменте [−ρ,ρ], а потому ряд сходится в точке x и так как x произвольная точка в интервале (–R,R), то этим доказано, что ряд (7.44) сходится в интервале (–R,R).

Теперь докажем, что ряд (7.44) расходится всюду вне интервала (–R,R). Пусть теперь x обозначает произвольную точку вне интервала (–R,R) (рис.81).

Рис. 81

Выберем на оси Ох точку P близкую к R с правой стороны (0 < R < P),

так чтобы точка x лежала вне сегмента [–P,P]. Затем обращаемся к последовательности сегментов (7.45) и выделяем из нее такой сегмент [a_N,b_N] с центром в точке R, чтобы его длина была меньше чем расстояние между точками R и P (рис.81).

По способу выбора сегментов (7.45), на правом конце сегмента [a_N,b_N], то есть в точке x = b_N ряд (7.44) расходится и по следствию из теоремы Абеля ряд расходится всюду вне сегмента [−b_n,b_n], а значит и подавно вне сегмента [–P,P]. Но точка x лежит вне сегмента [–P,P], а потому доказана расходимость ряда (7.44) в точке x. В виду произвола в выборе точки x вне интервала (–R,R) ряд (7.44) расходится вне этого интервала. Теорема доказана.

После этого обратимся к степенным рядам первого типа, которые сходятся только при x = 0, а при остальных значения x расходятся. В этом случае естественно считать, что радиус сходимости R = 0, а промежуток сходимости вырождается в единственную точку x = 0.

Степенные ряды третьего типа сходятся при всех значениях x и потому, для них промежуток сходимости будет ( ), а радиус сходимости R положим равным .

В итоге получается, что каждому степенному ряду (7.44) ставится в соответствие такое число , что в промежутке (–R,R) ряд сходится, а вне интервала (–R,R) ряд расходится.

Этот результат без затруднений переносится на степенные ряды общего вида . В этом случае для каждого ряда существует такое число , что ряд сходится в интервале и расходится вне интервала .