§3. Интегрирование и дифференцирование Функционального ряда
3.1. Интегрирование функционального ряда
Теорема (о почленном интегрировании функционального ряда). Для того, чтобы сходящийся в сегменте [a,b] к S(x) функциональный ряд
(7.20)
можно было почленно интегрировать, т.е. чтобы имело место равенство
(7.21)
достаточно, чтобы в этом сегменте:
1) члены ряда были непрерывными функциями;
2) ряд (7.20) был бы равномерно сходящимся.
Доказательство. Из равномерной сходимости в [a,b] ряда (7.20) следует, что для всякого как угодно малого числа ε > 0 найдется такое натуральное число N, зависящее только от ε, что для всех n > N выполнено неравенство
(7.22)
сразу для всех x из [a,b]. Далее фиксируем n, считая, что n > N. Как и прежде обозначим
.
По предыдущей теореме сумма ряда S(x) непрерывна в [a,b], а тогда из равенства
(7.23)
заключаем, что rn(x) также есть непрерывная функция в [a,b], как разность двух непрерывных в [a,b] функций.
Интегрирование равенства (7.23) дает
(7.24)
Обозначим
усеченную сумму порядка n
ряда (7.21) через
,
тогда так как n
конечное число, то
Таким образом,
. (7.25)
Подставляя
это в (7.24), находим
.
Отсюда
или
.
Из последнего неравенства и из неравенства (7.22) получаем, что
.
Итак,
доказано, что
при всех n
> N,
следовательно, справедливо предельное
равенство
, (7.26)
а
потому ряд (7.21) сходится и имеет сумму
.
Теорема доказана.
Замечание.
Используя (7.25) предельному равенству
(7.26) можно придать такой вид
.
Кроме того,
и потому имеем
(7.27)
значит, переход к пределу и интегрирование можно менять местами. Последнее равенство доказано в предположении равномерной сходимости ряда (7.20). В случае обычной сходимости равенство (7.27) может не иметь места.
3.2. Дифференцирование функционального ряда
Теорема (о почленном дифференцировании функционального ряда). Для того чтобы существовала непрерывная в [a,b] производная суммы S'(x) сходящегося ряда и имело место равенство
(7.28)
достаточно, чтобы в этом сегменте:
1)
производные
функций ряда существовали и были
непрерывны;
2) ряд, составленный из этих производных
(7.29)
был бы равномерно сходящимся.
Другими словами: с сохранением равенства (7.28) можно дифференцировать в [a,b] только такой сходящийся функциональный ряд, который после почленного дифференцирования дает равномерно сходящийся в [a,b] функциональный ряд производных. В противном случае этого делать нельзя.
Например,
рассмотрим ряд (7.14)
.
Как было установлено в примере §1 этот
ряд равномерно и абсолютно сходится в
интервале (−∞,+∞) и все члены ряда имеют
последовательные производные любого
порядка всюду в этом интервале. Но
равенство (7.28) для этого ряда не
сохраняется. Действительно, ряд,
составленный из производных, имеет вид
и
при
он расходится, т.е. суммы не имеет.
Доказательство. Обозначим через σ(x) сумму, сходящегося в [a,b], ряда (7.29)
.
(7.30)
По теореме о непрерывности суммы ряда (см. §2) сумма ряда σ(x) непрерывна в сегменте [a,b]. Кроме того, для этого ряда выполнены условия теоремы о интегрировании ряда в сегменте [a,b], а значит и подавно в сегменте [a,x], где x любая точка в [a,b]. Следовательно, ряд (7.29) можно почленно интегрировать в сегменте [a,х] и в результате этого приходим к равенству
.
Применяя в правой части полученного равенства в каждом члене ряда формулу Ньютона-Лейбница, получим
. (7.31)
Ряд в правой части равенства (7.31) можно рассматривать, как разность двух сходящихся рядов
.
Потому
равенству (7.31) можно придать вид
или
. (7.32)
С
помощью последнего равенства доказательство
существования производной у функции
S(x)
сводится к доказательству существования
производной от интеграла с переменным
верхним пределом
.
Но в данном случае выполнены условия
теоремы 2 (гл.5, §6, п.6.4) и по этой теореме
. (7.33)
Итак, правая часть, а тогда и левая часть (7.32) имеют производную, причем из (7.32) и (7.33) получаем, что
. (7.34)
Наконец из (7.30) и (7.34) заключаем, что в [a,b] справедливо равенство (7.28). Теорема доказана.