1.2. Равномерно сходящиеся функциональные ряды

Определение 1. Сходящийся в сегменте [a,b] функциональный ряд (7.1)

с суммой S(x) называется равномерно сходящимся в [a,b] функциональным рядом, если для всякого как угодно малого числа ε > 0 можно указать такое натуральное число N, выбор которого зависит только от ε и, следовательно, N одинаково для всех x из сегмента [a,b], чтобы для всех n > N выполнялось неравенство .

Определение равномерно сходящегося ряда можно выразить также в следующей равносильной форме.

Обозначим через r_n(x) сумму остатка сходящегося в [a,b] ряда, после того как в нем удалена сумма n первых слагаемых S_n(x): . Тогда .

Определение 2. Сходящийся в сегменте [a,b] функциональный ряд (7.1) называется равномерно сходящимся в [a,b] функциональным рядом, если для всякого как угодно малого числа ε > 0 можно указать такое натуральное число N, выбор которого зависит только от ε и, следовательно, число N одинаково для всех x из [a,b], чтобы для всех n > N выполнялось неравенство .

Выясним геометрическое значение равномерной сходимости функционального ряда. Сохраняем предположение о равномерной сходимости функционального ряда (7.1) в сегменте [a,b] и пусть этот ряд имеет сумму равную S(x). Зададим произвольно малое число ε > 0 и построим на сегменте [a,b] (рис.75) три графика

y = S(x) – ε, y = S(x), y = S(x) + ε.

Рис. 75

Тогда, в силу равномерной сходимости ряда (7.1), найдется такое натуральное число N, зависящее только от ε, что при всех n > N график y = S_n(x) всеми своими точками расположиться в ε – полосе графика y = S(x), т.е. целиком внутри полосы, ограниченной снизу графиком y = S(x) – ε, а сверху графиком y = S(x) + ε.

Или иначе (следуя второму определению) при всех n > N и сразу для всех x из [a,b] график y = r_n(x) (остатка ряда) всеми своими точками лежит ниже прямой y =+ε и выше прямой y = –ε. Другими словами, график y = r_n(x) внутри отрезка [a,b] оси Ox лежит в ε-полосе.

Для лучшего усвоения понятия равномерной сходимости ряда, полезно ознакомиться с примером неравномерно сходящегося функционального ряда.

Пример. Исследуем при сходимость функционального ряда

. (7.2)

Прежде всего, отметим, что при x = 0 ряд (7.2) сходится и имеет сумму равную нулю, так как при x = 0 все члены ряда равны нулю. Значит S(0) = 0.

Пусть теперь , тогда ряд (7.2) является геометрической прогрессией, знаменатель которой равен и, так как то ряд (7.2) сходится и имеет сумму (см. пример, гл.5, §2) .

Таким образом, ряд (7.2) сходится при любом х и его сумма S(x) равна (7.3)

Отсюда следует, что S(x) – сумма ряда (7.2) является разрывной функцией в точке х = 0.

_{Отметим, что все элементы ряда (7.2) суть непрерывные функции всюду в интервале (−∞,+∞), а все же сумма ряда (7.2) разрывная функция. Следовательно, непрерывность суммы сходящегося ряда функций не всегда следует из непрерывности всех членов ряда, как это имеет место для конечных сумм (сумма конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция).}

_{Докажем теперь, что ряд (7.2), сходящийся в интервале (−∞,+∞) есть неравномерно сходящийся ряд в этом интервале. Для проверки этого составим выражение усеченной суммы ряда (7.2) порядка n}

_.

Здесь воспользуемся формулой для суммы n первых членов геометрической прогрессии (см. пример, гл.5, §2) и тогда получим

_{. (7.4)}

_{Далее отметим, что неравенство}

_(7.5)

_{при x = 0 выполнено для любого ε > 0 и для всякого натурального n, потому что S(0) = 0, Sn(0) = 0 отсюда S(0) – Sn(0) = 0. Для x ≠ 0, из (7.3) и (7.4) следует, что}

_{или .}

_{Значит для выполнения неравенства (7.5) при x ≠ 0 должно выполняться неравенство}

_{. (7.6)}

_{Решая это неравенство относительно n, находим, что это неравенство будет выполнено если Поэтому целесообразно выбор N подчинить условию}

_{. (7.7)}

_{Равенство (7.7) означает, что .}

_{Тогда, если N задано условием (7.7) неравенство (7.6), а, следовательно, и неравенство (7.5), будут выполнены при всех значениях n > N.}

_{Таким образом, доказано, что для всех х из интервала (−∞,+∞) и любого ε > 0 можно выбрать такое значение N, зависящее как от ε, так и от х, чтобы при всех значениях n > N выполнялось неравенство |S(x) − Sn(x)| < ε. Это означает, что ряд (7.2) в интервале (−∞,+∞) сходится.}

_{Теперь покажем, что ряд (7.2) сходится в этом интервале неравномерно. Действительно, если x → 0, а ε фиксировано, то из формулы (7.7) следует, что при этом N → +∞. Это означает, что нельзя найти такое конечное значение N, которое годилось бы для всех x интервала (−∞,+∞), чтобы для всех n > N выполнялось неравенство |S(x) − Sn(x)| < ε. Следовательно, во всяком промежутке, содержащем точку x = 0 или имеющем точку x = 0, своей границей, например, в сегменте [0,1], в интервале (–1,+1), в интервале (0,1), в полусегменте [0,+∞), и т.д., имеет место неравномерная сходимость ряда (7.7). Однако, в полусегментах (–∞,ε] и [ε,+∞), где ε любое положительное число, ряд (7.2) сходится равномерно.}

_{Например, ограничимся рассмотрением полусегмента 1 ≤ x < +∞, в таком полусегменте ряд (7.2) сходится равномерно. В самом деле, из формулы (7.7) следует, что при фиксированном значении ε с увеличением х от 1 до +∞, значение N уменьшается. Следовательно, выбирая для N наибольшее значение , которое получается, если в (7.7) x положить равным 1, неравенство |S(x) − Sn(x)| < ε будет выполнено для всех n > N независимого от того каково значение х из полусегмента [1,+∞), а это и означает, что ряд (7.2) сходится в полусегменте 1 ≤ x < +∞ равномерно.}

_{Проиллюстрируем неравномерную сходимость ряда (7.2) геометрически. График суммы (7.3) y = S(x) ряда (7.2) состоит из изолированной точки О и из параболы y = x}² _{+ 1, у которой исключена точка А пересечения этой параболы с осью Oy. Из формулы (7.4), полагая n = 1, 2, 3, …, имеем}

_.

_{Графики этих усеченных сумм показаны на рис.76. По мере увеличения n эти графики все теснее прилегают к отрезку ОА и к кривой y = 1+ x}² _снизу.

_{Рис. 76}

_{На рис.76 произвольно выбранная ε-полоса, по всему графику суммы ряда y = S(x) обозначена пунктиром. Так как все графики усеченных сумм непрерывны и потому в окрестности точки x = 0, как это видно из рис.76, график всякой усеченной суммы выйдет за пределы ε-полосы. Это указывает на неравномерную сходимость ряда (7.2), поскольку для произвольно выбранной полосы ε нельзя подобрать такой номер N, чтобы усеченные суммы Sn(x), начиная с номера n ≥ N, располагались бы внутри полосы ε.}

_{Теперь остановимся на том, каким образом можно установить равномерную сходимость функционального ряда. Чаще всего для обнаружения равномерной сходимости функционального ряда применяется достаточный признак Вейерштрасса.}