6.4. Разложение показательной функции ez комплексного переменного z в степенной ряд. Формулы Эйлера

Степенной ряд (7.144) сходится всюду в Z-плоскости, следовательно, ряд (7.144) имеет в каждой точке Z-плоскости сумму, которая представляет собой функцию переменного z. Для того чтобы установить, что это за функция уместно напомнить разложение (7.77) показательной функции e^x, действительного переменного x: , справедливое при всех x, −∞ < x <+∞.

Ряд (7.77) отличается от ряда (7.144) тем, что в (7.77) переменное x действительное, а в (7.144) переменное z – комплексное. Следовательно, ряд (7.77) можно рассматривать, как частный случай ряда (7.144), когда z принимает действительные значения. Поэтому сумму ряда (7.144) нужно рассматривать, как обобщение показательной функции e^x на тот случай, когда показатель есть комплексное число. Это заставляет обозначить сумму ряда (7.144) через e^z:

(7.146)

и равенство (7.146) можно рассматривать, как определение показательной функции e^z комплексного переменного z для любых комплексных значений показателя z.

Аналогично можно определить для любых комплексных значений аргумента z тригонометрические функции синус и косинус, если положить в основу установленные прежде разложения этих функций (7.84) и (7.85) для действительного переменного х

справедливые при −∞ < x <+∞. Тогда функции sin z и cos z комплексного переменного z определяем, как суммы, сходящихся рядов

(7.147)

. (7.148)

Отсюда заключаем, что sin z нечетная, а cos z четная функция.

Теперь используя определения функций e^z, sin z и cos z, заданных формулами (7.146), (7.147) и (7.148) установим одну из важнейших формул математического анализа – формулу Эйлера, которая была взята нами в книге 2, §6, п.6.3 за основу для определения показательной функции e^z комплексного переменного z. Для этого рассмотрим ряд (7.146) при z = ix, где x действительное переменное

.

Если здесь воспользоваться тем, что , то после группировки действительных и мнимых членов ряда, получаем

.

Отсюда с учетом (7.84) и (7.85) получаем формулу Эйлера

. (7.149)

Таким образом, задание показательной функции e^z комплексного переменного z либо формулой (7.146), при условии справедливости формул (7.147) и (7.148), либо формулой (7.149), как это было сделано нами в книге 2, §6, п.6.3 равносильно и обеспечивает для этой функции одни и те же свойства. Рассмотрим эти свойства более подробно.

Заменим в (7.149) x через –x и имея в виду четность cos x и нечетность sin x, находим

. (7.150)

Решая систему уравнений (7.149) и (7.150) относительно cos x и sin x приходим к следующим формулам Эйлера

, (7.151)

. (7.152)

Формулы Эйлера (7.149), (7.150), (7.151), (7.152) справедливы не только при действительных, но и при любых комплексных значениях z. Действительно подставляя в (7.146) iz вместо z, имеем

.

Отсюда с учетом (7.147) и (7.148) следует справедливость равенства

(7.153)

при любых комплексных значениях z. Заменяя здесь z через –z и используя четность cos z и нечетность sin z, находим

. (7.154)

Теперь решая систему уравнений (7.153) и (7.154) относительно cos z и sin z имеем

, (7.155)

. (7.156)

Далее несложно установить, что всюду в Z-плоскости сохраняются равенства

, (7.157)

, (7.158)

. (7.159)

Так перемножая (7.153) и (7.154) приходим к равенству . Для доказательства равенства (7.159) воспользуемся формулой (7.155). Заменяя здесь z через z + w, имеем .

Подставляя сюда по формулам (7.153) и (7.154), находим

.

Производя в правой части указанные действия, получим после всех упрощений

Аналогично доказывается и равенство (7.158). Для этого нужно использовать формулу (7.156). Затем, полагая в (7.158) и (7.159) w = 2π убеждаемся, что sin z и cos z являются периодическими функциями с периодам 2π: , .

Теперь заменим в формулах (7.155) и (7.156) z через iz, тогда получим

Итак

, (7.160)

. (7.161)

Последние два тождества объясняют аналогию между тригонометрическими и гиперболическими функциями.

Следует отметить, что косинус и синус при комплексных значениях аргумента могут принимать значения, которые больше, чем 1. Так из тождества (7.161) полагая z = 2, получаем cos 2i = ch 2. Из таблиц находим ch 2 = 3,7622, а потому cos 2i = 3,7622. Вообще из изложенного следует, что cos z и sin z, при комплексных значениях z, могут принимать сколь угодно большие значения.

В качестве приложения формул Эйлера, получим формулу, выражающую , где n-натуральное число через косинусы кратного аргумента. Возводя формулу Эйлера (7.151) в n-ю степень и раскладывая правую часть по формуле бинома Ньютона, выводим

Объединяем равноотстоящие слагаемые от концов суммы попарно вместе

.

Наконец, с помощью той же формулы (7.151), получаем

. (7.162)

Пример. 1. Выразим через косинусы кратного аргумента, пользуясь формулой (7.162).

Поэтому, если нужно найти неопределенный интеграл, то с помощью полученного равенства находим

Аналогично, с помошью формулы Эйлера (7.152), выражается через косинусы кратных аргументов, если n число четное и через синусы кратных аргументов, если n число нечетное.

Пример 2. Выразим через косинусы кратных аргументов.

Пример 3. Решим ту же самую задачу для .