Числовые характеристики разброса

Дисперсией случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Однако, удобнее ее вычислять по формуле:

Поэтому найдем сначала второй начальный момент величины Х:

По ранее доказанному

кроме того,

следовательно,

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию а.

Это свойство распределения Пуассона часто применяют на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Для этого определяют из опыта статистические характеристики - математическое ожидание и дисперсию - случайной величины. Если их значения близки, то это может служить доводом в пользу гипотезы о пуассоновском распределении; резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против подобной гипотезы.

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину .

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из её дисперсии:

.

Стремление получить безразмерную характеристику степени рассеивания случайной величины, не зависящую от масштаба измерения исходных параметров случайных явлений, привело также к понятию коэффициента вариации случайной величины.

Коэффициент вариации - это отношение (в%) среднеквадратического отклонения к соответственному математическому ожиданию:

(предполагается, что )

Асимметрия и эксцесс распределения Пуассона

Третий центральный момент служит для характеристики асимметрии (скошенности) распределения. Он имеет размерность куба случайной величины. Чтобы получить безразмерную величину, её делят на , где - среднее квадратическое отклонение случайной величины Х. Полученная величина А называется коэффициентом асимметрии случайной величины:

.

Найдем третий центральный момент через начальные моменты по формуле:

Моменты и Найдем третий начальный момент :

Обозначим. Тогда

Подставляя в формулу для вычисления , получаем

Таким образом, третий центральный момент случайной величины также равен параметру распределения Пуассона . Найдем коэффициент асимметрии:

.

Коэффициент асимметрии случайной величины, имеющей распределение Пуассона, больше нуля.

Четвертый центральный момент служит для характеристики крутости (островершинности или плосковершинности) распределения.

Эксцессом (или коэффициентом эксцесса) случайной величины называется число

,

где - центральный момент четвертого порядка.

Можно показать, что

.

Так как , то эксцесс распределения Пуассона всегда положителен.

Дополнительные характеристики распределения Пуассона

I. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Х^k:

?_k =M(X^k).

В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:

?₁=M(X)=a.

II. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины [X-M(X)]^k:

?_k=M [X-M(X)]^k.

В частности, центральный момент 1-ого порядка равен 0:

?₁=М [X-M(X)]=0,

центральный момент 2-ого порядка равен дисперсии:

?₂=M [X-M(X)]²=a.

III. Для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, найдем вероятность того, что она примет значение не меньшее заданного k. Эту вероятность обозначим R_k:

Очевидно, вероятность R_k может быть вычислена как сумма

Однако значительно проще определить ее из вероятности противоположного события:

В частности, вероятность того, что величина Х примет положительное значение, выражается формулой

Распределение Пуассона в математической статистике

Точечная оценка параметра распределения Пуассона

Наилучшей точечной оценкой параметра является

Т.е. , или .

Отсюда следует, что

.

Интервальная оценка распределения Пуассона

Пусть х_1, х₂, … х_n - независимые наблюдения, каждое из которых распределено по закону Пуассона, т.е. при > 0 вероятность

Р,

где х = 0,1,2, … и - неизвестный параметр (интенсивность текучести).

Оценим параметр с помощью доверительного интервала.

Тогда доверительный интервал для , соответствующий доверительной вероятности , при достаточно большом n будет иметь вид

для любого значения . Поэтому, если n достаточно велико и

,

то

.

Пример условия, при котором возникает распределение Пуассона

Как уже говорилось, многие задачи практики приводят к распределению Пуассона. Рассмотрим одну из типичных задач такого рода.

Пусть на оси абсцисс Ох случайным образом распределяются точки (рис. 3). Допустим, что случайное распределение точек удовлетворяет следующим условиям:

Вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок l зависит только от длины этого отрезка, но не зависит от его положения на оси абсцисс. Иными словами, точки распределены на оси абсцисс с одинаковой средней плотностью. Обозначим эту плотность, т.е. математическое ожидание числа точек, приходящихся на единицу длины, через ?.

Точки распределяются на оси абсцисс независимо друг от друга, т.е. вероятность попадания того или иного числа точек на заданный отрезок не зависит от того, сколько их попало на любой другой отрезок, не перекрывающийся с ним.

Вероятность попадания на малый участок ?х двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки (это условие означает практическую невозможность совпадения двух или более точек).

Выделим на оси абсцисс определенный отрезок длины l и рассмотрим дискретную случайную величину Х - число точек, попадающих на этот отрезок. Возможные значения величины будут 0,1,2,…, m,… Так как точки попадают на отрезок независимо друг от друга, то теоретически не исключено, что их там окажется сколь угодно много, т.е. данный ряд продолжается неограниченно.

Докажем, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Для этого надо подсчитать вероятность Р_m того, что на отрезок попадет ровноm точек.

Сначала решим более простую задачу. Рассмотрим на оси Ох малый участок ?х и вычислим вероятность того, что на этот участок попадет хотя бы одна точка. Будем рассуждать следующим образом. Математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок, очевидно, равно ???х(т. к. на единицу длины попадает в среднем ? точек). Согласно условию 3 для малого отрезка ?х можно пренебречь возможностью попадания на него двух или больше точек. Поэтому математическое ожидание ???х числа точек, попадающих на участок ?х, будет приближенно равно вероятности попадания на него одной точки (или, что в данных условиях равнозначно, хотя бы одной).

Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при ?х>0 можно считать вероятность того, что на участок ?х попадет одна (хотя бы одна) точка, равной ???х, а вероятность того, что не попадет ни одной, равной 1-c??х.

Воспользуемся этим для вычисления вероятности P_m попадания на отрезок l ровно m точек. Разделим отрезок l на n равных частей длиной Условимся называть элементарный отрезок ?х «пустым», если в него не попало ни одной точки, и «занятым», если в него попала хотя бы одна. Согласно вышедоказанному вероятность того, что отрезок ?х окажется «занятым», приближенно равна ???х=; вероятность того, что он окажется «пустым», равна 1-. Так как, согласно условию 2, попадания точек в неперекрывающиеся отрезки независимы, то наши n отрезков можно рассмотреть как n независимых «опытов», в каждом из которых отрезок может быть «занят» с вероятностью p=. Найдем вероятность того, что среди nотрезков будет ровно m «занятых». По теореме о повторных независимых испытаниях эта вероятность равна

,

или обозначим ?l=a:

.

При достаточно большом n эта вероятность приближенно равна вероятности попадания на отрезок l ровно m точек, т. к. попадание двух или больше точек на отрезок ?х имеет пренебрежимо малую вероятность. Для того, чтобы найти точное значение Р_m, нужно перейти к пределу при n>?:

Учитывая, что

и

,

получаем, что искомая вероятность выражается формулой

где а=?l, т.е. величина Х распределена по закону Пуассона с параметром а=?l.

Надо отметить, что величина а по смыслу представляет собой среднее число точек, приходящееся на отрезок l.

Величина R₁ (вероятность того, что величина Х примет положительное значение) в данном случае выражает вероятность того, что на отрезок l попадет хотя бы одна точка: R₁=1-e^-a.

Таким образом, мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где какие-то точки (или другие элементы) занимают случайное положение независимо друг от друга, и подсчитывается количество этих точек, попавших в какую-то область. В нашем случае такой областью был отрезок l на оси абсцисс. Однако этот вывод легко можно распространить и на случай распределения точек на плоскости (случайное плоское поле точек) и в пространстве (случайное пространственное поле точек). Нетрудно доказать, что если соблюдены условия:

точки распределены в поле статистически равномерно со средней плотностью ?;

точки попадают в неперекрывающиеся области независимым образом;

точки появляются поодиночке, а не парами, тройками и т.д.,

то число точек Х, попавших в любую область D (плоскую или пространственную), распределяется по закону Пуассона:

,

где а - среднее число точек, попадающих в область D.

Для пуассоновского распределения числа точек, попадающих в отрезок или область, условие постоянной плотности (?=const) несущественно. Если выполнены два других условия, то закон Пуассона все-равно имеет место, только параметр а в нем приобретает другое выражение: он получается не простым умножением плотности ? на длину, площадь или объем, а интегрированием переменной плотности по отрезку, площади или объему.

16.

Биномиальный закон распределения вероятности

Обычно нас интересует лишь общее число успехов, достигнутых в последовательности из n испытаний Бернулли, а не порядок следования успехов. В этом смысле мы не делаем различий между событиями, состоящими, например, из последовательностей {У, У, У, Н, Н},   {У, У, Н, У, Н},   {У, У, Н, Н, У},   {У, Н, У, У, Н}    и т.д. Событие “n испытаний привели m раз к успеху” содержит столько элементарных событий, сколькими способами можно распределить m символов по n местам, что совпадает с числом сочетаний   из n элементов по m. Другими словами, пространство элементарных событий состоит из   точек, каждая из которых, по определению, имеет вероятность  . Следовательно, вероятность m успехов ( ) в серии из n испытаний Бернулли описывается формулой                              ,                           (*) где p – вероятность успеха;  q – вероятность неудачи в одном испытании (q = 1 – р). Согласно существующей терминологии, число успехов в серии из n испытаний является случайной величиной, а формула (*) описывает распределение этой случайной величины и называется биномиальным законом распределения вероятности. Заметим, что выражение   представляет собой m-ый член биномиального разложения  . Следовательно, , как того и требует понятие вероятности. Выражение, содержащее произведение вида  , представляет собой вероятность m успехов в серии из n испытаний Бернулли: . Заметим, что события          –  0 успехов,          –  1 успех,          –  2 успеха,          –  …,          –  n успехов в серии из n испытаний Бернулли образуют полную группу событий, поскольку они попарно несовместимы и вместе образуют достоверное событие. Частные случаи. –  Вероятность того, что в серии из n испытаний успех не наступит ни разу, равна  . –  Вероятность наступления хотя бы одного успеха в серии из n испытаний равна