6.5 Визначення втрат напору

Втрату напору на ділянці можна визначити за формулою Дарсі, м:

h=λ·(l/D)·v²/(2g), (6.13)

де λ – коефіцієнт втрат напору за довжиною (коефіцієнт Дарсі); l – довжина ділянки, м; D – діаметр труби ділянки, м; v – швидкість руху води в трубі, м/с, g=9,81м/с².

Втрати напору на одиницю довжини (l=1) називають гідравлічним ухилом i. Тоді

i= (λ/2g) ·(v²/D)=av²/D, (6.14)

де a=λ/ 2g – коефіцієнт втрат напору.

Із рівняння неперервності потоку води визначимо швидкість

v= Q/ω=4Q/(πD²). (6.15)

Підставимо значення швидкості у формулу (6.13). Дістанемо формулу для втрат напору, визначених через витрату води, м :

h=klQ²/D⁵, (6.16)

де k=8λ/(π²g) – коефіцієнт втрат напору ; Q – витрата води, м³/с.

У загальному вигляді формула (6.16) може бути подана у вигляді

h=klQ^β/D^m. (6.17)

Формула для гідравлічного ухилу

i=kQ^β/D^m. (6.18)

Величину k/D^m називають питомим опором s₀, а добуток s₀l=s – опором ділянки. З урахуванням цього формула (6.17) набирає вигляду

h=s⁰lQ^β=sQ^β. (6.19)

Щоб визначити значення показників степенів β, m, а також коефіцієнта k, потрібно розглянути модель Прандтля – Кармана руху води в трубах. Згідно з цією моделлю при русі води в циліндричній трубі вздовж її осі виникає центральне ядро води, що рухається по тонкій пограничній плівці води. Чим більша швидкість води, тим більше центральне ядро води і тонша погранична плівка води. Залежно від співвідношення товщини пограничної плівки δ і виступів шорсткості Δ на внутрішній поверхні труби розрізняють такі режими руху води (див. рис. 6.4).

Ламінарний режим. Погранична плівка покриває повністю виступи шорсткості (δ>Δ). Центральне ядро води рухається по плівці води і не гальмується виступами шорсткості, що вкриті плівкою води. Втра­ти напору, тобто втрати енергії води, мінімальні. При цьому коефі­цієнти λ, а, k залежать тільки від режиму руху води, а саме від числа Рейнольдса Re . В цьому випадку втрати напору (втрати енер­гії води) залежать лінійно від швидкості руху:

λ, a, k=f(Re); i=av/D. (6.20)

Турбулентний режим, перехідна зона. Зі збільшенням швидкості ру­ху води центральне ядро видавлює пограничну плівку і з’являються ви­ступи шорсткості. Коли товщина пограничної плівки стає такою, що до­рівнює висоті виступів шорсткості δ≈Δ, настає перехідна зона від ламінарного режиму до зони квадратичного опору турбулентного ре­жиму (перехідна зона є частиною турбулентного режиму). В цій зоні коефіцієнти λ, a, k залежать як від режиму руху води, тобто від числа Рейнольдса Rе, так і від висоти виступів шорсткості Δ. В цьому разі втрати напору – втрати енергії води – залежать від швид­кості руху не лінійно, а в степені 1,75...1,85:

λ, a, k=f(Re,Δ); i=av^(1.75-1.85)/D. (6.21)

Турбулентний режим, зона квадратичного опору. 3 подальшим зрос­танням швидкості руху води погранична плівка практично зникає і цент­ральне ядро рухається по виступах шорсткості. В цьому разі погранична

плівка залишається лише між виступами шорсткості і її товщина значно менша за виступи шорсткості δ<0. Настає зона квадратичного опо­ру турбулентного режиму, в якій коефіцієнти λ, a, k залежать тіль­ки від величини виступів шорсткості, тобто від матеріалу труб. У цьо­му випадкові втрати напору (втрати енергії води) залежать від швидкості руху не лінійно, а в степені 2:

λ, a, k=f(Δ); i=av²/D. (6.22)

Тому ця зона й називається зоною квадратичного опору.

Як бачимо, формула Дарсі (6.13) справедлива лише для зони квадра­тичного опору турбулентного режиму.

Багато вчених-гідравліків запропонували формули для визначення втрат напору в трубах із різного матеріалу для різних режимів руху води. В 1953 р. Ф.О. Шевельов опублікував результати досліджень, викона­них у НДІ ВОДГЕО (м. Москва). Він вивів такі емпіричні формули для обчислення втрат напору для ненових сталевих і чавунних труб [2]:

при v≥1,2 м/с (зона квадратичного опору)

i=0,001735Q²/D^5,3; (6.23)

при v< 1,2 м/с (перехідна зона)

i=0,00148(Q²/D^5,3) ·(1+0,867/v)^0,3. (6.24)

На підставі цих формул Шевельов Ф.О. обчислив таблиці [2], за допомогою яких можна швидко визначити втрати напору за простою формулою, м:

h=1000il, (6.25)

де i – гідравлічний ухил, м/км; l – довжина ділянки, км.

У таблицях наведений гідравлічний ухил, збільшений у 1000 разів тільки з метою полегшення користування ними. В такому разі не потріб­но дописувати декілька нулів перед значущою цифрою, оскільки гідравлічний ухил – досить мала величина.

Деякі вчені запропонували формули (наприклад, Кольбрук, Андріяшев, Альтштуль та інші), що апроксимують формули для перехідної зони і зони квадратичного опору. У водопостачанні широко використовують формулу Андріяшева, що апроксимує обидві формули Шевельова (6.23) та (6.24):

i=0,00179Q^1,9/D^5,1. (6.26)

Ураховуючи викладене, можна зазначити, до формула (6.19) для зо­ни квадратичного опору має вигляд

h=sQ²=s₀lQ². (6.27)

Ця формула забезпечує точний результат тільки для зони квадратич­ного

опору, однак нею можна скористатися і для перехідної зони, тіль­ки в цьому разі потрібно ввести так звану поправку на неквадратичність. Тоді формула

(6.27) набуває вигляду

h=s₀δlQ², (6.28)

де δ - поправка на неквадратичність, котра вводиться при швидкості

v<І,2 м/с.

Ця поправка табульована в таблицях Шевельова (там вона позначе­на K₁), у яких наведено й питомий опір s₀ для різних діаметрів труб із різного матеріалу, тільки в таблицях Шевельова величина s₀ позначена А. Отже, визначення втрат напору за формулою (6.28) є дуже зручним, оскільки для цього не потрібні розрахункові таблиці.

Тема № 7

7 МЕТОДИ ГІДРАВЛІЧНОГО РОЗРАХУНКУ

ВОДОПРОВІДНИХ МЕРЕЖ

7.1 Зв’язок між кількістю невідомих і кількістю можливих

для їх знаходження рівнянь

Розглянемо кільцеву мережу з одним джерелом живлення. Якщо виконано тільки трасування мережі і діаметри труб ділянок ще не визначені, то можна вказати:

невідомі кількість невідомих

Діаметри труб ділянок D_ik ……………………….p

Витрати води на ділянках Q_ik…………….………..p

------------------------------

Усього невідомих 2 p

Символом p позначена кількість невідомих. Визначимо тепер рівняння, які можна скласти для того, щоб знайти вказані невідомі. Можна використати рівняння 1-го та 2-го законів Кірхгофа. Для водопровідної мережі 1-ий закон Кірхгофа формулюється так: кількість води, що надходить до вузла, дорівнює кількості води, що виходить із нього. Умовно вважаючи лінійні витрати води, що надходять до вузла, додатними, а витрати води, що виходять з вузла, – від’ємними, цей закон можна сформулювати ще так:

алгебраїчна сума витрат води у вузлі дорівнює нулю

. (7.1)

Цей закон ще називають балансом води у вузлах.

Для водопровідної мережі 2-ий закон Кірхгофа формулюється так: алгебраїчна сума втрат напору в замкненому контурі водопровідної мережі дорівнює нулю.

Якщо умовно вважати втрати напору на ділянках, де напрям руху води йде за годинниковою стрілкою, додатним, а втрати напору на ділянках, де напрям руху води проти годинникової стрілки, – від’ємним, то алгебраїчна сума втрат напору в кільці дорівнює нулю

. (7.2)

Цей закон ще називають балансом втрат напору в кільцях мережі.

Зробимо математичний запис цих законів і визначимо кількість рівнянь, які можна скласти на основі цих законів.

Рівняння Кількість рівнянь

1–ий закон Кірхгофа ΣQ=0…………………….m-1

вузла

2–ий закон Кірхгофа Σh=0……………………..n

кільця

Усього невідомих (m+n-1)

Символом n позначено кількість кілець водопровідної мережі, символом m – кількість вузлів водопровідної мережі. Для кільцевої мережі з одним джерелом живлення (при фіксованих відборах води у вузлах мережі) в останньому за розрахунком вузлі буде тотожність, яка не дає можливості визначити невідоме. Тому можна скласти тільки (m-1) рівнянь, що відповідають (m-1) вузлу мережі. Отже, щоб знайти p невідомих,можна скласти (m+n-1) рівнянь. З’ясуємо, як пов’язати між собою вказані величини. З цією метою скористаємось теоремою Ейлера для плоского багатогранника, яким по суті і є плоска кільцева водопровідна мережа. Згідно з цією теоремою сума кількості вершин та кількості граней на одиницю більша від кількості ребер, тобто m+n=p+1. Використовуючи терміни водопостачання, це можна сформулювати так: для плоскої водопровідної мережі будь-якої конфігурації кількість ділянок на одиницю менша від суми кількості вузлів і кількості кілець, або p=m+n-1. Отже, виходячи з 1-го та 2-го законів Кірхгофа, можна скласти p рівнянь, маючи вдвічі більше невідомих, тобто

2 p.

У цьому разі потрібно залучати додаткові умови для того, щоб знайти p невідомих, або вибрати значення для p невідомих. Здавалося б, що можна використати рівняння економіки

D_ik=Э^0,14 Q_ik^0,42. (7.3)

Але рівняння цього типу отримані у результаті мінімізації функції приведених затрат З=Е_нК+Э, тобто для знаходження мінімуму була обчислена похідна ∂З/∂D_ik котра потім прирівнювалась до нуля. Виявилось, що для кільцевої мережі маємо мінімаксну точку, для якої похідна ∂З/∂D_ik є мінімумом, а похідна ∂З/∂Q_ik – максимумом. Іншими словами, формули типу

(7.3) дають оптимальний розв’язок тільки для тупикової мережі. Для

кільцевої мережі вони не дають оптимального розв’язку, бо приведені затрати не враховують надійності. Тому за цим показником тупикова мережа завжди буде вигіднішою тому, що вона значно коротша, ніж кільцева.

Оптимальні діаметри за допомогою цих формул можна отримати тільки для заданого потокорозподілу. На практиці p невідомих вважають такими, що вже задані. Звичайно, з умов 1-го закону Кірхгофа обчислюють витрати води на ділянках D_ik, виконуючи попередній потокорозподіл. Потім з урахуванням умов економіки і надійності задаються p невідомими. Тобто призначають діаметри D_ik ділянок, а вже потім шукають дійсні витрати води на ділянках Q_ik для мережі, для якої вже призначені діаметри D_ik.Таким чином, далі виконують гідравлічну ув’язку мережі, тобто знаходять такі дійсні витрати води на ділянках мережі, за яких виконується 2-ий закон Кірхгофа.