1. Повна система рівнянь руху літального апарату. Спрощуючи припущення

Одним з важливіших етапів технічної пропозиції є етап балістичного проектування, на якому визначаються такі важливіші характеристики літального апарату (ЛА) як: запас палива, програма роботи двигуна, профіль швидкостей, форма траєкторії.

На початковій стадії проектування багато характеристик ЛА ще невідомо, тому проектування ведеться в умовах часткової невизначеності.

В технічному завданні (ТЗ) вказують початкову, кінцеву або середню швидкості, які не визначають однозначно профіль швидкостей. Тому практично завжди існує багато варіантів профілів швидкостей та відповідних їм програм роботи двигуна, які задовольняють ТЗ.

Зв’язок профілю швидкості та форми траєкторії з програмою роботи двигуна закладений в рівняннях руху. Для розкриття цих залежностей необхідно про інтегрувати рівняння руху. Але із-за відсутності на початковому етапі проектування ряду важливих характеристик ЛА без спрощуючих припущень це неможливо.

Приймають наступні припущення:

а) розглядається лише подовжній рух ЛА;

б) управління виконується ідеально, перехідні процеси у контурі управління протікають миттєво, кут атаки ЛА визначається лише умовами керування;

в) ЛА розглядається як матеріальна крапка, кінематичні параметри руху визначаються з рівнянь руху центру мас;

г) метод наведення виконується ідеально.

З урахуванням цих припущень повна система рівнянь руху буде мати наступний вигляд:

динамічні рівняння:

(1.1)

де – поточна маса ЛА; – швидкість ЛА; – тяга двигуна; - кут атаки ЛА; - кут нахилу траєкторії ЛА; - сила аеродинамічного опору; - піднімальна сила ЛА; - секундна витрата палива; - прискорення вільного падіння;

кінематичні рівняння:

(1.2)

де - радіус – вектор даності (відстань від ЛА до цілі); - швидкість цілі; - кут візування цілі; - кут нахилу траєкторії цілі; - поточна висота польоту ЛА; - поточна горизонтальна дальність ЛА;

рівняння методу наведення:

паралельного зближення -

або погоні (1.3)

або пропорціонального зближення

або рівняння іншого методу наведення.

Перше динамічне рівняння системи (1.1) називають енергетичним Запишемо його в наступному вигляді ( 1):

. (1.4)

З рівняння (1.4) виходить, що тяга двигуна витрачається на прискорення ЛА, подолання аеродинамічного опору та гравітаційних сил.

Розглянемо визначення відносного запасу палива для ряду окремих випадків, а потім – загальний випадок. Відносним запасом палива називається відношення маси палива до стартової маси ЛА: .

2. Визначення відносного запасу палива за відсутності аеродинамічних та гравітаційних сил

Енергетичне рівняння у даному випадку буде мати наступний вигляд

. (2.1)

З урахуванням того , що , де - питомий імпульс палива, рівняння (1.5) буде мати наступний вигляд

. (2.2)

Розділимо підставні і візьмемо інтеграл від лівої і правої частин рівняння (2.3)

, (2.3)

де , - початкова та кінцева швидкості ЛА; , - початкова та кінцева маси ЛА.

Проінтегрувавши (2.3), одержимо

. (2.4)

З (2.4) знайдемо

. (2.4)