II. Элементы векторной алгебры

§6. Векторы. Линейные операции над векторами (задачи на построение)

1. Даны произвольные векторы и . Построить векторы:

1) + ;

2) − ;

3) − − .

2. Даны произвольные векторы _, и . Построить векторы:

1) + + ;

2) + − ;

3) − + ;

4) − − .

3. Пользуясь параллелограммом, построенном на векторах и , проверить на чертеже справедливость тождеств:

1) ( + ) + ( − ) = 2 ; 2) ( + ) − ( − ) = 2 ;

3) +( − ) = .

4. Даны векторы , и . Построить векторы:

1) 2 − ;

2) 3 − ;

3) + − 4 ;

4) −

5. Векторы и взаимно перпендикулярны, причем =5, =12. Определить

1) | + |;

2) | − |.

6. Вычислить модули векторов:

1) = 2 − 10 + 11 ;

2) = + 2 − 2 ;

3) = 2 − 5 .

7. Найти длину вектора , если А (1; 2; −3) и В (3; −1; 0)

8. Дан вектор =7 − +5 . Определить координаты точки В, если А (−2;1;0).

9. Дано = +2 − 3 . Определить координаты точки А, если В (1; −1; 5).

10. Вычислить направляющие косинусы для векторов:

1) = 3 − 4 + 5 ;

2) = 12 − 3 − 4 .

11. Вектор составляет с осями координат равные острые углы. Определить эти углы.

§7. Скалярное произведение векторов. Проекция вектора на заданное направление.

1. Вычислить скалярное произведение векторов и , если:

1) = 2 − 3 + 4 ; = 3 − − 2 ;

2) = − − 5 ; = 4 + 2 + ;

3) = 2 + 3 + 4 ; = −2 + 4 − 2 .

2. Определить угол между векторами и , если:

1) = 2 + − 4 ; = − 2 + 2 ;

2) = + ; = + 2 − 2 ;

3) = 2 + 3 − ; = 13 − 6 + 8 .

3. Показать, что вектор = 3 +2 +5 перпендикулярен вектору = 2 − 3 .

4. Даны координаты вершин треугольника в пространстве: А (−1; 2; 3); В (1; 1; 1); С (0; 0; 5) . Показать, что треугольник АВС – прямоугольный.

5. Найти угол между векторами и , если:

А (5; −2; 3); В (7; −4; 4); С (0; −1; 2); М (4; 3; 6).

6. Определить, при каком значении m векторы

= m − 3 + 2 и = + 2 −m взаимно перпендикулярны.

7. Даны векторы и . Определить и если:

1) = + − 2 ; = − + 3 ;

2) = + + 2 ; = − + 4 .

8. Найти проекцию вектора на вектор , если:

1) А (3; 1; 0); В (0; −2; 6); С (3; −2; 0); М (1; −2; 4);

2) А (− 2; 3; 4); В (2; 2; 5); С (1; −1; 2); М (3; 2; −4).

§8. Линейные пространства.

1. Выяснить, являются ли векторы а₁, а₂, а₃ линейно зависимыми:

1) а₁= (2; −1; 3), а₂ = (1; 4; −1), а₃= (0; −9; 5);

2) а₁= (1; 2; 0), а₂ = (3; −1; 1), а₃= (0; 1; 1).

2. Показать, что векторы а₁= (1; 2; 0), а₂ = (3; −1; 1), а₃= (0; 1; 1), заданные в базисе е₁, е₂, е₃, сами образуют базис.

3. Даны векторы а = е₁ + е₂ + е₃, b = 2е₂ + 3е₃, c = е₂ + 5е₃, где е₁, е₂, е₃ базис линейного пространства. Доказать, что векторы a, b, c образуют базис. Найти координаты вектора d = 2е₁ − е₂ + е₃ в базисе a, b, c.

4. Даны векторы а₁, а₂, а₃, b. Показать, что векторы а₁, а₂, а₃ образуют базис трехмерного пространства, и найти координаты вектора b в этом базисе, если:

1) а₁= (4; 3; 2), а₂ = (−3; 2; −1), а₃ = (2; 3; 1), b=(16; 8; 7);

2) а₁= (−1; 2; 0), а₂ = (2; 4; 2), а₃ = (−3; −1; 3), b=(−8; 0; 4).

5. Даны векторы а₁, а₂, а₃, а₄, b. Показать, что векторы а₁, а₂, а₃, а₄ образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора b в этом базисе, если:

1) а₁=(8;5;9;1), а₂=(1;−3;−6;3), а₃=(3;−1;5;2), а₄=(0;2;−1;4), b=(−17;−13;−36; −6);

2) а₁=(2;4;3;2), а₂ =(4;2;2;8), а₃=(4;5;8;7), а₄ =(6;7;5;3), b=(18;24;13;6).

Индивидуальное задание №2 по теме: «Элементы векторной алгебры»

Задание №1. Даны координаты точек А, В, С. Требуется:

1. записать векторы , , в системе орт , , и найти модули этих векторов;

2. найти угол между векторами и ;

3. найти проекцию вектора на вектор .

1. А(−12;−1),В(0;−10),С(4;12).

2. А(2; 2), В(5;6), С(6;4).

3. А(4;−2), В(7;2), С(8;0).

4. А(0; 2), В(3;6), С(4;4).

5. А(4; 1), В(7;5), С(8;3).

6. А(3; 2), В(6;6), С(7;4).

7. А(−2;1), В(1;5), С(2;3).

8. А(1;−1), (3;5),С(−7;11).

9. А(−8;−3),В(4;−12),С(8;10)

10. А(−5;7),В(7;−2), С(11;20).

11. А(−10; 9), В(2;0), С(6;22).

12. А(0;2), В(12;−7), С(16;15).

13. А(1;−1), В(4;3), С(5;1).

14. А(0;−1), В(3;3), С(4;1).

15. А(1;−2), В(4;2), С(5;0).

16. А(2;−2), В(5;2), С(6;0).

17. А(0; 0), В(3;4), С(4;2).

18. А(0; 1), В(3;5), С(4;3).

19. А(3;−2), В(6;2), С(7;0).

20. А(3;−3),В(6;1), С(7;−1).

21. А(4;−3),В(7;1), С(8;−1).

22. А(−2;2), В(1;6), С(2;4).

23. А(5; 0), В(8;4), С(9;2).

24. А(2; 3), В(5;7), С(6;5).

25. А(1;−1), В(4;3), С(5;1).

26. А(−2;0), В(2;4), С(4;0).

27. А(2;−1), В(−1;3), С(2;4).

28. А(−5;0), В(7;9), С(5;−5).

29. А(4;0), В(7;4), С(8;2).

30. А(−1;1), В(2;5), С3;3).

Задание №2 Даны векторы , , , . Показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

1. =(2;1;3), =(3; −2;1), =(1; −3; −4), =(7;0;7).

2. =(5;3;1), =(−2; −1;2), =(−2;1; 4), =(3;0;1).

3. =(1;3;5), =(−2;−1;−1), =(4; −2;4), =(−7;3;−1).

4. =(3;1;6), =(−2; 2;−3), =(−4; 5; −1), =(3;0;1).

5. =(4;1;4), =(−2; −1;1), =(3;1; 5), =(− 3;−2;1).

6. =(1;2;5), =(2; −3;4), =(1; −1; −2), =(3;0;1).

7. =(5;1;2), =(3; 4;−1), =(−4; 2; 1), =(−3;5;4).

8. =(2;1;5), =(−4; 3;5), =(1; −1; −4), =(4;−1;−3).

9. =(3;1;4), =(−4;2;3), =(2;−1;−2), =(7;−1;0).

10. =(1;4;2), =(5;−2;−3), =(−2;−1;1), =(−3;2;4).

11. =(1;3;1), =(1; 2;−1), =(−3; 2;5), =(0;−1;−2).

12. =(3;1;5), =(−2;3;−2), =(−1; 2; 4), =(−5;2;−7).

13. =(2;1;4), =(3; 1;5), =(1; −4;−3), =(1;0;1).

14. =(1;4;2), =(−4; 1;3), =(2;−3;4), =(−5;−3;1).

15. =(2;1;3), =(4; 1;−2), =(−3;2;1), =(2;0;−5).

16. =(1;2;4), =(2; −3;1), =(−3; −1; −2), =(1;−7;0).

17. =(3;1;5), =(−1; 2;3), =(4; 3; 2), =(2;7;8).

18. =(3;2;1), =(−3;1;−2), =(2;3;5), =(−4;−1;1).

19. =(4;3;2), =(−1; 2;−2), =(3;4;4), =(1;8;0).

20. =(2;1;4), =(−1;−2;3), =(3; −5; −2), =(1;−9;4).

21. =(5;1;2), =(8;2;−3), =(−1;3;2), =(−7;1;9).

22. =(1;3;2), =(2; −5;7), =(1;3;−1), =(4;1;8).

23. =(3;2;2), =(2;3;1), =(1; 1; 3), =(5;1;11).

24. =(1;5;3), =(2;1;−1), =(4;2;1), =(31;29;10).

25. =(4;2;5), =(−3;5;6), =(2;−3;−2), =(9;4;18).

26. =(2;3;3), =(−1;4;−2), =(−1;−2;4), =(4;11;11).

27. =(1;2;4), =(1;−1;1), =(2;2;4), =(−1;−4;−2).

28. =(3;−2;2), =(−1;1;−1), =(0;1;4), =(5;0;15).

29. =(3;2;1), =(−1;−5;1), =(1;−3;−1), =(4;−17;0).

30. =(1;2;3), =(1;−1;−2), =(1;−6;0), =(−1;8;3).