6.1. Метод Эйлера.
Этот метод является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других численных методов.
Пусть дано дифференциальное уравнение с начальными условиями (задача Коши)
(17)
и удовлетворяются условия существования и единственности решения.
Требуется
найти решение
задачи Коши (17) на отрезке
.
Находим решение в виде таблицы
.
Для этого разобьем отрезок
на
равных частей и построим последовательность
где
-
шаг интегрирования. Проинтегрируем
исходное уравнение на отрезке
:
Полученное соотношение можно переписать так
(18)
Если
считать подинтегральную функцию
постоянной на участке
и равной значению в начальной точке
этого интервала
,
то получим
Подставляя полученный результат в формулу (18) получаем основную расчетную формулу метода Эйлера:
(19)
Вычисление
значений
осуществляется с использованием формулы
(19) следующим образом. По заданным
начальным условиям
и
полагая
в выражении (19) вычисляется значение
(20)
Далее
определяя значение аргумента
по формуле
,
используя найденное значение
и полагая в формуле (19)
вычисляем следующее приближенное
значение интегральной кривой
,
как
(21)
Поступая
аналогичным образом при
определяем все остальные значения
,
в том числе последнее значение
,
которое соответствует значению аргумента
.
Таким
образом, соединяя на координатной
плоскости точки
отрезками прямых в качестве приближенного
представления искомой интегральной
кривой
,
получаем ломанную линию с вершинами в
точках
.
Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений.
Пусть задана система двух уравнений первого порядка
(22)
с начальными условиями
.
Необходимо найти решение этой задачи Коши. Проводя аналогичные рассуждения, получаем расчетные формулы вида:
(23)
где
-
шаг интегрирования.
При
расчетах полагается, что
и
.
В результате применения расчетной схемы
(23) получается приближенное представление
интегральных кривых
и
в форме двух ломанных Эйлера, построенных
по полученным таблицам
.
Точность метода Эйлера
.
6.2. Метод Рунге-Кутта.
Данный метод является одним из наиболее распространенных численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. По сравнению с описанным выше методом Эйлера метод Рунге-Кутта имеет более высокую точность.
Пусть
на отрезке
требуется найти численное решение
задачи Коши (17), где
.
Как и в предыдущем методе разобьем этот
участок на
равных частей и построим последовательность
значений
аргумента
искомой функции
.
Предполагаем существование непрерывных
производных функции
до пятого порядка.
Выражение (18) можно переписать в виде:
(24)
где
-
приращение искомой функции
на
-ом
шаге интегрирования.
Придадим
аргументу
приращение, равное шагу интегрирования
,
и разложим функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки
,
сохранив в нем пять членов:
Перенося первое слагаемое в этой сумме в левую часть получим, что
(25)
Здесь
производные
определяются последовательным
дифференцированием уравнения (16).
Вместо
непосредственных вычислений по формуле
(25) в методе Рунге-Кутта для каждого
значения
определяются четыре числа:
(26)
Доказывается,
что если числа
последовательно умножить на
и сложить между собой, то выражение:
.
(27)
Формула
Рунге-Кутта имеет погрешность
.
Таким образом, рабочая формула Рунге-Кутта
для интегрирования
.
В
отличие от расчетной схемы метода
Эйлера, в которой каждое следующее
значение
вычисляется непосредственно по единой
формуле (19), в методе Рунге-Кутта необходимо
проведение промежуточных вычислений
по формулам (26) и (27).
Метод Рунге-Кутта может быть использован
и при решении систем дифференциальных
уравнений. Рассмотрим задачу Коши для
системы второго порядка (22). В этом случае
приращения
и
вычисляются по формулам:
(28)
где
(29)
Приближенное интегрирование системы уравнений (22) осуществляется по формулам вида:
(30)