4.2. Первая интерполяционная формула Ньютона.
Если таблица, для которой построена
формула Лагранжа, задана для равноотстоящих
узлов
,
то формула Лагранжа упрощается. Обозначим
через
.
Тогда
;
;…,
.
С учетом введенных обозначений формула Лагранжа запишется так:
.
Запишем формулу Лагранжа в случае, если
:
.
Получили формулу линейной интерполяции вида.
.
Здесь
- табличные разности первого порядка.
При
получаем формулу квадратичной
интерполяции вида
.
Здесь
- табличные разности второго порядка.
Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона будет иметь вид:
.
Остаточный член формулы имеет вид:
,
где
,
- точка наименьшего промежутка, содержащего все узлы и точку . Первая интерполяционная формула рекомендуется для интерполяции в начале таблицы.
4.3. Вторая интерполяционная формула Ньютона.
Вторая интерполяционная формула Ньютона
используется при вычислении функции
для значений
,
близких к концу таблицы и для продолжения
таблицы. Обозначим через
,
тогда
.
Тогда получим следующую формулу Ньютона:
.
Погрешность формулы
имеет тот же смысл, что и в первой формуле
Ньютона.
4.4. Применение интерполяционных многочленов для приближенного вычисления производных функции.
Интерполяционные многочлены могут быть
использованы для приближенного вычисления
первой, второй и производных других
порядков для функций, заданных таблицей
или для функций, имеющих сложный
аналитический вид. При этом погрешность
будет достаточно велика даже для
нахождения первой производной. Проблема
состоит в том, что значения многочлена
и функции
в узловых точках совпадают, но значения
производных в них не совпадают, т.е.
тангенсы углов наклона в каждой точке
не равны.
Значения производных в узловых точках, заданных в таблице, приближенно можно вычислить по формулам вида:
Более точные значения производных можно
получить, если предположить, что
.
Тогда получим:
.
Аналогично можно получить
и т.д.
4.5. Численное интегрирование. Квадратурная формула Ньютона-Котеса.
Если
функция
непрерывна на отрезке
и известна ее первообразная
,
то определенный интеграл от этой функции
в пределах от
до
может быть вычислен по формуле
Ньютона-Лейбница:
(16)
где
.
Однако, во многих случаях
не может быть найдена с помощью
элементарных средств или является
слишком сложной; вследствие этого
вычисление определенного интеграла по
формуле (16) может быть затруднено или
даже практически невыполнимо. Поэтому,
важное значение приобретают численные
методы вычисления определенных
интегралов, использующие ряд значений
подынтегральной функции в точках
.
Вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, двойного - механической кубатурой. Соответствующие формулы будем называть квадратурными и кубатурными формулами.
Рассмотрим способы вычисления однократных интегралов.
Если
воспользоваться интерполяционным
полиномом Лагранжа, то, заменяя функцию
полиномом
,
получим равенство
(17)
где
- ошибка этой квадратурной формулы.
Пусть
требуется вычислить интеграл
,
где
.
Выбрав шаг
,
разобьем отрезок
на
равных частей с помощью равноотстоящих
точек
,
,
,
.
Заменим подынтегральную функцию
интерполяционным полиномом Лагранжа
и
получим приближенную квадратурную
формулу
(18)
Выведем
явные выражения для коэффициентов
формулы (18). Многочлен Лагранжа
имеет коэффициенты
,
.
Вводим
обозначения
и
и с учетом этих обозначений многочлен
Лагранжа запишем в виде:
(19)
Заменяя в формуле (18) функцию полиномом в виде (19), получим:
,
где
.
Так как
и
,
то сделав замену переменных в определенном
интеграле, будем иметь:
,
.
Так как , то можно записать коэффициенты Котеса:
,
(20)
Квадратурная формула при этом принимает вид:
(21)
Рассмотрим частные случаи.
По
формуле (20) при
вычислим:
,
.
Полученная формула является формулой трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла (Рис.10).
По
формуле (20) при
вычислим:
;
.
Следовательно, так как
,
то квадратурная формула для вычисления
интеграла имеет вид
.
Э
та
формула является формулой Симпсона.
Геометрическая интерпретация формулы
состоит в том, что происходит замена
данной кривой
параболой
,
проходящей через три точки
(Рис.11).