01_03 Лекции ФМП

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Множества евклидова пространства

M 0 (x10 , x20 , , xm0 ) Rm и R – некоторое положительное число.

1.Множество {M} точек M , удовлетворяющих условию (M , M 0 ) R , называется m – мерным шаром радиуса R с центром в точке M 0 .

2.Множество {M} точек M , удовлетворяющих условию (M , M 0 ) R , называется открытым m –мерным шаром радиуса R с центром в точке M 0 .

3.Множество {M} точек M , удовлетворяющих условию (M , M 0 ) R , называется m – мерной сферой радиуса R с центром в точке M 0 .

Отметим, что при m 2 множества 1, 2 и 3 представляют собой соответственно круг, открытый круг и окружность радиуса R с центром в точке M 0 .

4.Открытый m –мерный шар радиуса 0 с центром в точке M 0 называется –

окрестностью точки M 0 .

5.Множество {M} точек M , координаты x1 , x2 , , xm которых удовлетворяют неравенст-

вам

где d1 , d2 ,..., dm – некоторые положительные числа, называется открытым m – мерным паралле-

лепипедом с центром в точке M 0 или прямоугольной окрестностью точки M 0 . При m 2 это множество представляет собой открытый прямоугольник.

6.Точка M множества {M} называется внутренней точкой этого множества, если существует – окрестность точки M , все точки которой принадлежат множеству {M} .

7.Точка M 0 называется граничной точкой множества {M} , если в любой – окрестности

точки M 0 найдутся точки, как принадлежащие множеству {M} , так и не принадлежащие ему.

Отметим, что граничная точка множества может, как принадлежать этому множеству, так и не принадлежать ему.

8.Множество {M} называется открытым, если все его точки – внутренние.

9.Множество {M} называется замкнутым, если оно содержит все свои граничные точки.

1

10. Точка M 0 называется предельной точкой множества {M} , если в любой – окрестности точки M 0 содержатся точки множества {M} , отличные от M 0 . Предельная точка множества

может принадлежать, а может не принадлежать этому множеству.

Также можно заметить, что множество {M} замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

11.Множество {M} называется ограниченным, если найдется m – мерный шар, содержащий все точки этого множества.

12.Непрерывной (или простой) кривой L в пространстве Rm называется множество {M}

точек этого пространства, координаты x1 , x2 , , xm которых представляют собой непрерывные функции параметра t :

x1 1 (t) , x2 2 (t) ,…, xm m (t) , t .

Если функции i (t) , i 1, m непрерывно дифференцируемы на отрезке [ , ], то кривую L назы-

вают гладкой.

13.Множество {M} называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

14.Областью называется открытое и связное множество в пространстве Rm .

15.Если множество {M} представляет собой область, то множество {M } , полученное присоединением к множеству {M} всех его граничных точек, называется замкнутой областью.

Понятие функции многих переменных

Пусть {M} – множество точек пространства Rm .

Определение. Если каждой точке M (x1 , x2 , , xm ) из множества {M} поставлено в соответствие по закону f некоторое число u , то говорят, что на множестве {M} задана функция m пе-

тами функции. Множество {M} называется областью определения (или областью задания) функ-

ции u f (M ) . Число u , соответствующее данной точке M из множества {M} , называется значением функции в точке M . Совокупность {u} всех значений функции u f (M ) называется мно-

жеством значений этой функции.

В евклидовом пространстве R2 для функции u f x1 , x2 f (M ) двух независимых пере-

менных x1 , x2 обычно полагают x1 x , x2 y , u f x, y , имея в виду, что точка M (x, y) лежит на координатной плоскости xOy прямоугольной декартовой системы координат x, y, z . Более то-

го, если u z , то есть предположить, что значение u функции f определяет аппликату z , то уравнение z f x, y определяет поверхность в евклидовом пространстве R3 . Таков геометриче-

ский смысл функции двух независимых переменных. По тем же мотивам в пространстве R3 для функции трех независимых переменных вводят обозначение u f x, y, z . Однако эта функция не

имеет такую наглядную геометрическую интерпретацию как функция двух переменных. Рассмотрим несколько примеров функций многих (нескольких) переменных.

1. u 1 x2 y2 . Областью определения этой функции на плоскости xOy является круг с

начале координат O(0,0,0) , расположенную в области z 0 . 2

2. u x2 y2 9 1 . Областью определения этой функции является множество точек, ле-

жащих вне круга радиуса 3 с центром в начале координат, а множество значений представляет собой открытую полупрямую u 0 .

Предел функции многих переменных

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлена в соответствие точка M n

евклидова пространства Rm , то говорят, что в этом пространстве определена последовательность точек M1 , M 2 , , M n , Эту последовательность обозначают также символом {M n }.

Определение. Последовательность {M n } точек пространства Rm называется сходящейся,

если существует точка A пространства Rm такая, что для любого положительного числа найдется номер N ( ) такой, что при n N выполняется неравенство (M n , A) . При этом точка A

Rm , а точка A пространства Rm является предельной точкой множества {M} .

Определение (по Гейне). Число b называется пределом функции u f (M ) в точке A , если для любой сходящейся к A последовательности {M n } точек множества {M} , все элементы M n которой отличны от A , соответствующая числовая последовательность значений функции { f (M n )} сходится к числу b .

Определение (по Коши). Число b называется пределом функции u f (M ) в точке A , если для любого положительного числа найдется положительное число ( ) такое, что для любой точки M из множества {M} , удовлетворяющей условию 0 (M , A) , справедливо неравенст-

во f (M ) b .

xm am

где ( a1 , a2 , , am ) – координаты точки A .

Оба определения предела функции эквивалентны, что доказывается точно так же, как и для функции одной переменной. Заметим, что в этих определениях не рассматривается значение функция u f (M ) в точке A .

Рассмотрим понятие предела функции u f (M ) при M . Предположим, что множество {M} , на котором задана функция u f (M ) , для любого 0 имеет точки, лежащие вне шара

точек M из множества {M} , удовлетворяющих условию (O, M ) , справедливо неравенство f (M ) b .

3

Для обозначения предела функции u f (M ) при M используется символ

lim f (M ) b .

M

Так же, как и для функции одной переменной, легко убедиться в том, что арифметические операции над функциями m переменных, имеющими предел в данной точке A (или при M ), приводят к функциям, также имеющим предел в точке A (соответственно при M ).

Сформулируем данное утверждение для предела в точке A .

lim f (M ) 0 .

M A

Например, функция

f (M ) (x1 a1 )n1 (x2 a2 )n2 (xm am )nm ,

где n1 , n2 , , nm – положительные числа, является бесконечно малой в точке A(a1 , a2 , , am ) .

Если функция u f (M ) имеет в точке A предел равный b , то функция (M ) f (M ) b является бесконечно малой в точке A . Действительно,

(M ) – бесконечно малая в точке A функция.

Сравнение бесконечно малых функций нескольких переменных проводится точно так же,

Для функции u f (x1 , x2 , , xm ) нескольких переменных можно определить понятие предела по одной из переменных xk при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с

y y0 x x0

Аналогично определяется повторный предел

4

Rm . Пусть A – некоторая предельная точка множества {M} , и пусть A принадлежит множеству

{M} .

Определение. Функция u f (M ) называется непрерывной в точке A , если предел этой функции в точке A существует и равен значению f ( A) .

Точки пространства Rm , в которых функция u f (M ) не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции.

Определение. Функция u f (M ) , определенная на множестве {M} , называется непрерывной на множестве {M} , если она непрерывна в каждой точке M этого множества.

5

Определение. Приращением или полным приращением функции u f (M ) в точке A назы-

вается функция u , определяемая равенством

u f (M ) f ( A) ,

где M – произвольная точка из области определения функции.

Пусть точки A и M имеют соответственно координаты a1 , a2 , , am и x1 , x2 , , xm . Обо-

переменных при фиксированных значениях остальных переменных. Для введения такого понятия определим частные приращения функции u f (x1 , x2 , , xm ) в точке M (x1 , x2 , , xm ) , принадлежащей области определения функции.

Зафиксируем все аргументы, кроме xk , и придадим xk произвольное приращение xk такое, чтобы точка с координатами x1 , x2 , , xk xk , , xm находилась в области определения функции.

Определение. Частным приращением функции u f (M ) в точке M (x1 , x2 , , xm ) , соответ-

ставляет собой бесконечно малую функцию от xk .

Очевидно, из условия непрерывности функции u f (x1 , x2 , , xm ) в точке M вытекает непрерывность этой функции в данной точке по каждой из переменных x1 , x2 , , xm . Однако из непрерывности функции в точке M по каждой из переменных x1 , x2 , , xm не вытекает, вообще говоря, непрерывность этой функции в точке.

∆ Заметим, что при любых значениях x и y справедливы равенства f (x,0) 0 , f (0, y) 0 , а, следовательно, частные приращения xu и y u функции u f (x, y) в точке O(0,0) при любых

щей через точку O . Тогда

6

разным значениям k , получаем разные предельные значения. Следовательно, предел функции u f (x, y) в точке O(0,0) не существует, а это означает, что функция разрывна в данной точке. ▲

Рассмотрим основные свойства непрерывных функций многих переменных. Доказательства этих свойств в основном аналогичны доказательствам соответствующих свойств функций одной переменной.

1. Арифметические операции над непрерывными функциями. Если функции f (M ) и g(M )

определены на множестве {M} и непрерывны в некоторой точке A этого множества, то функции

f (M ) g(M ) , f (M ) g(M ) , f (M ) так же непрерывны в точке A (в случае частного g( A) 0 ). g(M )

Данное свойство вытекает из соответствующего утверждения об арифметических операциях над функциями, имеющими предел.

2. Непрерывность сложной функции. Введем понятие сложной функции нескольких переменных. Пусть функции

внуль и имеет знак, совпадающий со знаком f ( A) .

4.Теорема (о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Пусть функция u f (M ) непрерывна во всех точках связного множества {M} евклидова про-

странства Rm , причем f ( A) и f (B) – значения этой функции в точках A и B этого множества. Пусть, далее, C – любое число, заключенное между f ( A) и f (B) . Тогда на любой непрерывной

7

кривой L , соединяющей точки A и B и целиком располагающейся в {M} , найдется точка N такая, что f (N) C .

5.Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция ограничена на этом множестве.

6.Определение. Точной верхней (нижней) гранью функции f (M ) на множестве {M} назы-

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на этом множестве своих точных верхней и нижней граней.

7. Определение. Функция u f (M ) называется равномерно непрерывной на множестве {M} евклидова пространства Rm , если для любого положительного числа существует такое по-

Теорема (Кантора). Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция равномерно непрерывна на этом множестве.

Теорема Кантора доказывается аналогично теореме о равномерной непрерывности для функции одной переменной.

Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных

Пусть M (x1 , x2 , , xm ) – внутренняя точка области определения функции u f (x1 , x2 , , xm ) . Рассмотрим в данной точке отношение частного приращения xk u к соответствующему приращению xk аргумента xk :

u f (x1 , x2 , , xm ) становится функцией одной переменной. Производная этой функции одной переменной и есть частная производная функции u f (x1 , x2 , , xm ) по аргументу xk . Поэтому вы-

числение частных производных производится по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

8

Замечание 1. Из существования у функции в данной точке всех частных производных, вообще говоря, не вытекает непрерывность функции в этой точке. Действительно, функция

непрерывной в этой точке. Однако, данная функция имеет частные производные по переменным x и y в точке O 0, 0 . Это следует из того, что f (x,0) 0 , f (0, y) 0 , и поэтому

Замечание 2. Отметим, что определение частных производных всегда применимо для внутренних точек области определения функции, но для граничных точек этой области, вообще говоря, непригодно. В частности, это связано с тем, что в граничных точках области определения функции не всегда можно вычислить частные приращения функции. В качестве примера можно рассмотреть граничную точку M 0 области, изображенной на рис. 1. В связи с этим принято опре-

делять частные производные в граничных точках как пределы этих производных при стремлении точек к границе.

Заметим, что, если для функции одной переменной существование производной в точке является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке, то для функции нескольких переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами функции.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция u f (x1 , x2 , , xm ) дифференцируема в точке M (x1 , x2 , , xm ) , то в этой точке существуют част-

ные производные по всем аргументам, причем u Ai , где Ai определяются из условия (5) или

xi

(6) дифференцируемости функции.

Следствие 1. Условие (6) дифференцируемости функции в точке M можно записать в виде

u f (x1 , x2 , , xm ) имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки M 0 (x10 , x20 , , xm0 ) , и в этой точке все эти частные производные непрерывны, то данная функция дифференцируема в M 0 .

Полный дифференциал функции многих переменных. Геометрический смысл полного дифференциала

Определение. Дифференциалом du (полным или первым дифференциалом) дифференци-

руемой в точке M (x1 , x2 , , xm ) функции u f (x1 , x2 , , xm ) называется линейная относительно приращений аргументов часть приращения этой функции в точке M . Если все коэффициенты Ai

в представлении (5) приращения дифференцируемой функции равны нулю, то дифференциал du функции в точке M считается равным нулю.

Используя теорему о необходимом условии дифференцируемости функции, можно переписать выражение (7) для полного дифференциала du следующим образом:

Формула (8) является справедлива и в том случае, когда аргументы x1 , x2 , , xm являются дифференцируемыми функциями некоторых новых переменных t1 ,t2 , ,tk , которые можно счи-

тать независимыми. Указанное свойство называется свойством инвариантности формы первого дифференциала.

Напомним, что дифференциал функции одной переменной геометрически представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке. Аналогично можно рассмотреть геометрический смысл дифференциала для функции двух переменных. Введем сначала понятие касательной плоскости к поверхности в точке.

10