Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский Государственный Технический Университет им. Ю.А. Гагарина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

01_03 Лекции ФМП

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2015

Размер:

948.33 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Определение. Плоскость P , проходящая через точку N0 поверхности, называется касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей, проходящей через

точку N0

и любую точку

поверхности, стремится к нулю,

когда точка

стремится к N0

(рис.2).

Если в точке N0

существует

касательная

плоскость, то очевидно, что касательная в точке N0

любой кривой, расположенной на поверхности и

проходящей через N0 , лежит в указанной плоскости.

Убедимся, что из условия дифференцируемо-

сти функции z f (x, y) в данной точке M 0 (x0 , y0 )

вытекает существование касательной плоскости к

поверхности S , определяемой этим уравнением,

точке N0 (x0 , y0 , z0 ) , где z0 f (x0 , y0 ) . Положим

x x x0 , y y y0 , z z z0 ,

где z f (x, y) . Очевидно,

условие (5) дифференци-

руемости для случая функции двух переменных

можно записать в следующем виде:

f (x, y) z0 A(x x0 ) B( y y0 ) x y

A(x x0 ) B( y y0 ) o( ) ,

Рис. 2.

где A и B – постоянные, равные частным производным f

и f

в точке

;

и – бесконеч-

но малые при x 0 и y 0 функции;

x2 y2 .

Рассмотрим уравнение

z z0 A(x x0 ) B( y y0 ) .

Из аналитической геометрии известно, что это уравнение определяет в прямоугольной де-

картовой

системе координат

x, y, z

некоторую

плоскость

P , проходящую через точку

N0 (x0 , y0 , z0 ) и имеющую нормальный вектор n (A, B, 1) . Нетрудно доказать, что эта плоскость

P является касательной плоскостью в точке N0	поверхности S . Для этого достаточно убедиться,
что: 1) плоскость P проходит через точку N0	поверхности S и 2) угол между нормалью n
этой плоскости и любой секущей N0 N1 стремится к 2 , когда точка N1 поверхности S стремит-
ся к точке N0 .
Таким образом, дифференцируемость функции u f (x, y) в точке M 0 (x0 , y0 )		с геометри-
ческой точки зрения означает наличие касательной плоскости к графику функции		u f (x, y) в

точке N0 (x0 , y0 , z0 ) .
Так как коэффициенты A и B равны соответственно частным производным,		вычисленным
в точке M 0 (x0 , y0 ) , то уравнение касательной плоскости может быть записано в виде
z u x	u y .	(9)
x	y

Выражение (9) совпадает с выражением для дифференциала функции двух переменных. Таким образом, дифференциал функции двух переменных есть приращение аппликаты касательной плоскости в заданной точке.

Вектор		u	,	u		называют нормалью к поверхности	z f (x, y) в точке
Вектор	n		,		, 1	называют нормалью к поверхности	z f (x, y) в точке
		x		y
		x		y
N0 (x0 , y0 , z0 ) .
						11

Дифференцирование сложной функции

Рассмотрим вопрос о дифференцировании сложной функции вида u

f (x1 , x2 , , xm ) , где

x1 1

t1 ,t2 , ,tk

t ,t

, ,t

(10)

t ,t

, ,t

Теорема. Пусть функции (10) дифференцируемы в некоторой точке N(t 0 ,t 0 , ,t

0 ) , а функ-

ция u f (x , x

, , x

) дифференцируема

точке

M (x0

, x0 , , x0 ) ,

где

0 ,t 0

, ,t 0 ) ,

1 2

i 1,2, , m . Тогда сложная функция u f (x1 , x2 , , xm ) , где x1 , x2 , , xm

определяются соотноше-

ниями (10), дифференцируема в точке N . При этом частные производные этой сложной функции

в точке N определяются формулами

u xm

(11)

………………………

u xm

x t

где частные производные

, i 1,2, , m берутся в точке M

, а частные производные

xi функ-

t j

ций (10) по аргументам t1 ,t2 , ,tk

берутся в точке N .

Замечание. Если функции (10) зависят от одного аргумента t , то получаем сложную функ-

цию одной переменной t : u f (x , x

, , x

)

, где x

(t) . Производная

этой сложной функ-

ции определяется формулой

dx1

dx2

dxm

(12)

Пример. Найти

, если u xyz , где

x t 2 1 ,

y ln t ,

z arctgt .

∆ Используя формулу (12) для случая m 3 , где x1

x ,

x2 y , x3

z , получаем

yz 2t xz

2t ln t arctg t

2 1) arctg t

ln t . ▲

1 t 2

Пример. Найти

, если z u2 ln v ,

где u

, v x2 y2 .

∆ Для вычисления частных производных сложной функции воспользуемся формулами (11)

z		y	u2	ux		y ln v
	2u ln v			2x 2u			,
x		x2				x2
			v		v

z		1	u2	ln v		uy
	2u ln v			2 y 2u			. ▲
y	2u ln v			2 y 2u			. ▲
y		x	v		x	v

Существование и дифференцируемость неявно заданных функций

При решении различных задач приходится сталкиваться с ситуацией, когда функция u аргументов x1 , x2 ,…, xm задается посредством функционального уравнения F(u, x1 , x2 , , xm ) 0 .

В этом случае говорят, что u как функция аргументов x1 , x2 ,…, xm задана неявно. Естественно, возникает вопрос о том, при каких условиях функциональное уравнение

F(u, x1 , x2 , , xm ) 0 однозначно разрешимо относительно u , то есть однозначно определяет явную функцию u (x1 , x2 , , xm ) , и при каких условиях эта явная функция непрерывна и дифференцируема.

Договоримся в дальнейшем обозначать пространство переменных (u, x1 , x2 , , xm ) символом E , а пространство переменных (x1 , x2 , , xm ) символом E . Для краткости записи рассмотрим случай двух переменных x1 , x2 .

Теорема. Пусть функция F(u, x1 , x2 ) дифференцируема в некоторой окрестности точки M 0 (u0 , x10 , x20 ) пространства E , причем частная производная F u непрерывна в точке M 0 . Тогда если в точке M 0 функция F обращается в нуль, а частная производная F u не обращается в нуль, то для любого достаточно малого положительного числа найдется такая окрестность

точки M	(x0	, x0 ) пространства	E , что в пределах этой окрестности существует единственная
0	1	2
функция u (x1 , x2 ) , которая удовлетворяет условию				u u0		и является решением уравнения
функция u (x1 , x2 ) , которая удовлетворяет условию				u u0		и является решением уравнения
			F(u, x1 , x2 ) 0 ,		(13)
причем эта функция u (x1 , x2 )			непрерывна и дифференцируема в указанной окрестности точки
M .
0

Замечание 1. В условиях рассмотренной теоремы можно опустить требование непрерывности частной производной F u в точке M 0 , но тогда придется дополнительно потребовать, что-

бы эта производная не обращалась в нуль не только в самой точке M 0 , но и в некоторой ее окре-

стности.

Замечание 2. Приведенная теорема остается справедлива для случая неявной функции, зависящей не только от двух, а от любого конечного числа аргументов x1 , x2 ,…, xm . Кроме того из

теоремы следует, что частные производные функции u (x1, x2 ) определяются формулами

u	F x1	,	u		F x2 .	(14)
x	F u		x
				2	F u
1

Аналогичные формулы справедливы и для случая, когда неявно заданная функция зависит не от

двух, а от любого конечного числа аргументов x1 ,			x2 ,…, xm . В этом случае
	u	F xk	( k 1,2, , m ).
	xk	F u

Если функция y , зависящая от одного аргумента x , неявно задана уравнением F(x, y) 0 , то

производная

определяется по формуле

F x .

(15)

F y

Пример. Найти

, если 1 xy ln(exy e xy ) 0 .

∆ Обозначим левую часть данного уравнения через F(x, y) . Тогда

yexy ye xy

2 ye xy

xe xy xe xy

2xe xy

exy e xy

По формуле (15) получаем

2 ye xy

exy e xy

. ▲

exy e xy

2xe xy

Пример. Найти z

, если x3 2y3 z3 3xyz 2y 3 0 .

∆ Обозначим левую часть данного уравнения через F(x, y, z) . Тогда

2 3yz ,

6 y2 3xz 2 , F 3z 2 3xy .

Воспользовавшись формулой (14), получаем

3x2

3yz

x2 yz

6 y2 3xz 2

. ▲

3z2

3xy

xy z 2

3z2 3xy

3(xy

z2 )

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция u f (x , x

, , x

) имеет частную производную

в каждой точке неко-

торой окрестности точки M . В этом случае частная производная u представляет собой функ-

цию переменных x1 , x2 , , xm определенную в данной окрестности.

Определение. Если	u	имеет в точке M частную производную по аргументу xk , то эта
Определение. Если	xi
	xi
производная по аргументу	xk	называется частной производной второго порядка или второй ча-
стной производной функции u f (x1 , x2 , , xm )					в точке M по аргументам xi , xk и обозначается
одним из следующих символов:
			2u	, f ,	f (2) ,		u ,		u (2) .
				, f ,	f (2) ,		u ,		u (2) .
			xk xi	xi xk	xi xk			xi xk	xi xk
			xk xi
Если i k , то частная производная второго порядка называется смешанной. Если i k , то
частная производная второго порядка обозначается						2u		или	f 2 . После того как введено понятие
частная производная второго порядка обозначается						xi		или	f 2 . После того как введено понятие
						xi			x
							2		x
									i

второй частной производной, можно последовательно ввести понятие третьей частной производной, затем четвертой и так далее.


Предположим, что уже	введено		понятие ( n 1)-й частной производной функции
u f (x1 , x2 , , xm ) по аргументам	xi	, xi , , xi		(отдельные или даже все номера которых могут
	1	2	n 1

совпадать) и что эта ( n 1)-я частная производная имеет в точке M частную производную по ар-

гументу

то указанную частную производную называют частной производной

n -го порядка

или

n -й

частной

производной

функции

f (x1 , x2 , , xm )

в точке

по

аргументам

xi , xi

, , xi .

Соотношение, определяющее n -ю частную производную по аргументам

xi , xi , , xi

, xi

n 1 n

имеет вид

n 1u

x x

in 1

Если

не

все

индексы i1 ,i2 , ,in

совпадают

между

собой, то

частная

производная

называется смешанной частной производной

n -го порядка.

n 1

Так как частная производная функции по аргументу xi определяется как обычная производная функции одной переменной xi при фиксированных значениях остальных переменных, то

при вычислении частных производных высших порядков так же применяются методы вычисления обычных производных первого порядка. Рассмотрим пример по нахождению частных производных второго порядка.

Пример. Найти частные производные второго порядка функции u arctg																	x			.
																				.
																		y
∆ Вначале найдем частные производные первого порядка
u	1		1		y			u	1		x				x
							,												,
		2		2		2	,			2		2		2		2			,
x	1 (x y)	2	y x	2	y	2		y	1 (x y)	2	y	2	x	2	y	2
	1 (x y)		y x		y				1 (x y)		y		x		y

После чего, дифференцируя эти производные, определяем вторые производные

y 2x

2xy

(x2 y2 ) y 2 y

(x2 y2 )2

(x2

y2 )2

(x2 y2 ) x 2x

x 2 y

2xy

. ▲

(x2 y2 )2

(x2

y2 )2

(x2 y2 )2

(x2

y2 )2

В рассмотренном примере смешанные частные производные 2u и 2u равны друг дру-

x y y x

гу. В общем случае значения смешанных производных зависят от порядка, в котором проводятся последовательные дифференцирования. Убедимся в этом на примере.

Пример. Проверить, равны ли производные 2u и 2u функции

x y y x

	x 2		y 2
xy					, x 2 y 2 0,
xy	x	2	y	2	, x 2 y 2 0,
u	x		y
		0, x				2	y	2	0
		0, x					y		0

вточке 0, 0 .

∆Находим частную производную первого порядка по переменной x :

	u	y(x4 y4 4x							2 y2 )		. x2 y2 0,

				2	y	2		2
			(x				)
	x		(x				)
	x				0,		x		2	y	2	0.
									2		2

Тогда

lim

x 0, y 0

1 .

y x

x 0, y 0

y 0

Проводя аналогичные вычисления,

получим

1 .

Таким образом, в точке ( 0,0 )

x y

x 0, y 0

. ▲

x y

y x

На примере функции двух переменных сформулируем достаточные условия независимости смешанных производных от порядка, в котором проводятся последовательные дифференцирования.

Теорема. Пусть функция u f (x, y) определена вместе со своими частными производными

f ,

f и

f в некоторой окрестности в точки

, y

) ,

а частные производные f

непрерывны в этой точке. Тогда в частные производные

в точке M

, y

) равны.

Аналогичное утверждение можно доказать в общем случае функции m переменных: если у функции u f (x1 , x2 , , xm ) непрерывны в некоторой точке смешанные производные, то в этой точке они не зависит от порядка дифференцирования.

Пусть в некоторой области пространства Rm определена дифференцируемая функция u f (x1 , x2 , , xm ) независимых переменных x1 , x2 , , xm . Тогда в этой области дифференциал du , определяемый выражением

du	u	dx	u	dx		u	dx		,
					2			m
	1		x2			xm
	x1

так же можно рассматривать как функцию тех же независимых переменных. Если дифференциал du будет дифференцируемой функцией в соответствующей области пространства Rm , то можно определить полный дифференциал d (du) этой функции. Такой дифференциал обозначается сим-

волом d 2u и называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка перво-

начальной функции u f (x1 , x2 , , xm ) . Дифференциал d 2u будет функцией тех же переменных, и

если d 2u является дифференцируемой функцией в соответствующей области, то его полный дифференциал d (d 2u) , обозначаемый символом d 3u , приведет к третьему дифференциалу или дифференциалу третьего порядка первоначальной функции u f (x1 , x2 , , xm ) . Следуя индукции, нетрудно определить дифференциал d nu любого порядка n .

Рассмотрим дифференциал d 2u второго порядка. При вычислении этого дифференциала примем во внимание, что дифференциалы dx1 , dx2 ,…, dxm независимых переменных следует считать постоянными. Тогда

m	u			m		u
d 2u d (du) d		dx			d		dx
d 2u d (du) d		dx			d		dx
	xk		k					k
k 1	xk			k 1		xk

m	m			u
						dxi	dxk
		x		x

k 1 i 1			i		k

m	m		2	u
						dxi dxk .
		x x
k 1	i 1				k
		i

Отметим, что выражение для дифференциала второго порядка можно переписать и в другом виде, используя формальный символ

d dx

(16)

2 x

m x

1 x

С помощью этого символа выражение для второго дифференциала может быть переписано

в виде

d 2u dx

u .

m x

1 x

Например, в случае функции u f (x, y)

двух переменных для d 2u справедлива формула

d 2u

dxdy

dy2 .

x y

По индукции легко

убедиться

том,

что

для

n -го дифференциала

функции

u f (x1 , x2 , , xm ) справедливо представление

d nu

dxi1 dxi2 dxin .

i 1 i 1

i 1

Это представление с помощью формального символа (16) может быть переписано в виде

d nu dx

u .

m x

1 x

Совершенно другой вид имеют представления для второго и последующего дифференциа-

лов в случае, когда аргументы

x1 , x2 , , xm

функции u f (x1 , x2 , , xm ) являются функциями не-

которых независимых переменных t1 ,t2 , ,tk .

Формула Тейлора для функции многих переменных

Обозначим k -й дифференциал функции u

f (x , x

, , x

)

в точке

M пространства

символом d k u

f (x1 , x2 , , xm ) задана в некоторой - ок-

Теорема. Пусть n 0 – целое число, функция u

рестности точки M

(x0 , x0

, , x0 )

и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные

по

всем

переменным

до

порядка

n 1

включительно.

Тогда

полное

приращение

u f (M ) f (M0 ) этой функции в точке M 0 может быть представлено в форме

d nu

d n 1u

u du

d 2u

(17)

1)!

при

этом

– некоторая

точка указанной

окрестности,

зависящая,

вообще

говоря,

от

и d n 1u

M (x , x

, , x

) ,

а дифференциалы dx

переменных

входящие в выражения d k u

1 2

M 0

равны x

x x0 .

Формула (17) называется формулой Тейлора для функции u f (M )

с центром разложения

в точке M 0 , а последний член формулы (17) называется остаточным членом, записанным в фор-

ме Лагранжа.

Теорема. Пусть n 1 – целое число, функция u

f (M )

f (x1 , x2 , , xm ) задана и n 1 раз

дифференцируема в -

окрестности точки

(x0 , x0 , , x0 )

раз дифференцируема в самой

точке M 0 . Тогда для любой точки M из указанной - окрестности справедлива следующая фор-

мула:

d nu

f (M ) f (M

)

d 2u

o(n ) ,

(18)

в которой через обозначено расстояние

(M , M

) , а символ o(n )

обозначает бесконечно ма-

лую при 0 (или при M M

) функцию более высокого порядка малости, чем n .

Формула (18) называется формулой Тейлора с центром в точке M 0 с остаточным членом в

форме Пеано.

Пример. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки

M 0 (1,1) до членов второго

порядка включительно функцию f (x, y) y x .

∆ Имеем

f (1,1) 1 . Вычислим частные производные первого и второго порядка данной

функции и их значения в точке M 0 (1,1) :

f (x, y) y x ln y ,

(1,1) 0 ;

f (x, y) xy x 1 ,

(1,1) 1;

(x, y) y x ln2 y ,

(1,1) 0 ;

(x, y) y x 1 (x ln y 1) ,

(1,1) 1;

(x, y) x(x 1) y x 2 ,

(1,1) 0 .

Далее находим выражения для дифференциалов первого и второго порядка в точке M 0 (1,1) :

0 dx 1 dy 0 (x 1) 1 ( y 1) y 1,

d 2 f

0 (dx)2

2 1 dxdy 0 (dy)2

2(x 1)( y 1) .

По формуле (18) получим

f (x, y) 1 ( y 1) (x 1)( y 1) o(2 ) , где

(x 1)2

( y 1)2 . ▲

Понятие экстремума функции многих переменных. Необходимые условия экстремума

				Пусть функция		u f (x1 , x2 , , xm ) определена в	некоторой	окрестности точки
M	0	(x0		, x0	, , x0 ) пространства Rm .
			1	2	m
				Определение. Говорят, что функция u f (M ) имеет в точке M 0 локальный максимум (ло-
кальный минимум), если существует такая окрестность точки M 0 , в которой выполняется неравен-
ство			f (M ) f (M 0 ) ( f (M ) f (M 0 ) ). Если же существует окрестность точки M 0 ,						в которой при
M M 0					выполняются	неравенства f (M ) f (M 0 ) ( f (M ) f (M 0 ) ), то		говорят,	что функция
u f (M ) имеет в точке M 0 строгий локальный максимум (строгий локальный минимум).
				Определение. Если функция u f (M ) имеет в точке M 0			локальный максимум или локаль-

ный минимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум (или просто экстре-

мум).

Теорема (необходимые условия локального экстремума). Если функция u f (x1 , x2 , , xm )

имеет в точке M

(x0 , x0

, , x0 )

локальный экстремум, и в этой точке существуют частные произ-

водные первого порядка по всем переменным x1 , x2 , , xm , то

) 0

) 0 ,…,

) 0 .

(19)

∆

Установим

справедливость

первого

равенства

(19). Зафиксируем

функции

f (x1 , x2 , , xm ) аргументы

x2 , x3 , , xm , приравняв их соответствующим координатам точки

, то есть x

x0 ,

x0 ,…, x

0 . При этом получаем функцию u

f (x , x0 , , x0 ) одной

переменной x .

Производная этой функции в точке x

, совпадает с частной производной

) . Так как функция u f (M ) имеет локальный экстремум в точке M

, то указанная функ-

ция одной переменной u f (x , x0

, , x0 ) имеет локальный экстремум в точке x

0 ,

и поэтому

производная этой функции одной переменной в точке x

x0 , совпадающая с частной производ-

ной

(M 0 ) , равна нулю. Первое равенство (19) доказано. Остальные равенства (19) доказыва-

ются аналогично. ▲

Подчеркнем, что равенства (19) являются лишь необходимыми и не являются достаточны-

ми условиями локального экстремума функции u f (M ) в точке M 0 .

Например, у функции двух переменных u xy частные производные u и

обращаются

в нуль в точке M 0 (0,0) , но экстремума в этой точке данная функция не имеет, так как эта функция

равна нулю в самой точке M 0 ,

а в любой сколь угодно малой окрестности этой точки принимает

как положительные, так и отрицательные значения.

Определение. Точки, в которых обращаются в нуль все частные производные первого по-

рядка функции u f (M ) , называются стационарными точками этой функции.

Из доказанной теоремы следует и другая форма необходимых условий локального экстре-

мума: если функция u f (M ) дифференцируема в точке M 0

и имеет в этой точке локальный экс-

тремум,

то дифференциал du этой функции в точке M 0

тождественно равен нулю относительно

дифференциалов независимых переменных dx1 ,

dx2 ,…,

dxm . Таким образом, локальные экстре-

мумы функции u f (M ) находятся либо среди точек, в которых эта функция недифференцируема, либо в тех точках, в которых du M0 0 .

Достаточные условия локального экстремума

Для формулировки достаточных условий локального экстремума приведем некоторые сведения из теории квадратичных форм.

Определение. Квадратичная форма относительно переменных h1 , h2 ,…, hm

m	m
(h1 , h2 , , hm ) aik hi hk		(20)
i 1	k 1

называется положительно определенной (отрицательно определенной), если для любых значений h1 , h2 ,…, hm , одновременно не равных нулю, эта форма принимает строго положительные (строго

отрицательные) значения.

Определение. Квадратичная форма (20) называется знакоопределенной, если она является либо положительно определенной, либо отрицательно определенной.

Определение. Квадратичная форма (20) называется знакопеременной, если она принимает как строго положительные, так и строго отрицательные значения.

Определение. Квадратичная форма (20) называется квазизнакоопределенной, если она принимает либо только неотрицательные, либо только неположительные значения, но при этом обращается в нуль для некоторых значений h1 , h2 ,…, hm , одновременно не равных нулю.

Определение. Матрицей квадратичной формы (20) называется матрица

	a11a12	a1m
A	a21a22	a2m	.	(21)

	am1am2 amm
Если все элементы матрицы A удовлетворяют условию aik				aki ( i 1,2, , m ; k 1,2, , m ),

то матрица A называется симметричной.

Определение. Главными минорами симметричной матрицы (21) называются следующие определители:

a11

a12

a13

a11a12

a1m

A a ,

a11

a12

a21a22

a2m

,…,

a21

a22

a31

a32

a33

am1am2 amm

Сформулируем теперь критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы:

1. Для того чтобы квадратичная форма (20) с симметричной матрицей (21) являлась положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы (21) были положительны, то есть чтобы были справедливы неравенства

A1 0 , A2 0 ,…, Am 0 .

2. Для того чтобы квадратичная форма (20) с симметричной матрицей (21) являлась отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров матрицы (21) чередовались, причем знак A1 был отрицателен, то есть чтобы были справедливы неравенства

			A1 0 , A2 0 ,	A3 0 , A4 0 ,…
Теорема	(достаточные		условия	локального экстремума). Пусть функция
u f (M ) f (x , x	, , x )	дифференцируема в		некоторой окрестности точки	M	0	(x0	, x0	, , x0 )	и
1 2	n					0	1	2	m

имеет в этой точке непрерывные производные по всем переменным до второго порядка включи-

тельно. Кроме того, пусть точка M 0 является стационарной точкой функции u f (M ) . Тогда если второй дифференциал

		m m		2	u
d 2u					u	(M 0 ) dxi dxk ,	(22)
d 2u						(M 0 ) dxi dxk ,	(22)
	M0	i 1 k 1	xi xk
	M0

представляет собой положительно определенную форму (отрицательно определенную) квадратичную форму от переменных dx1 , dx2 ,…, dxm , то функция u f (M ) имеет в точке M 0 строгий ло-

кальный минимум (строгий локальный максимум). Если же второй дифференциал (22) представляет собой знакопеременную квадратичную форму, то функция u f (M ) не имеет локального

экстремума в точке M 0 .

∆ Доказательство основано на разложении функции u f (M ) в окрестности точки M 0 по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, полагая в этой формуле n 2 :

	f (M ) f (M	0	) du				M0				1	d 2u		o(2 ) .
											1

										2			M	0
										2			M	0
По условию теоремы точка M 0 является стационарной, поэтому должно выполняться ра-
венство du	M0 0 , то есть							1	d 2u			o(2 ) .


	f (M ) f (M			0	)										(23)

						2
						2						M 0
												M 0
Теперь можно доказать, что для всех достаточно малых знак правой части (23) определя-
ется знаком второго дифференциала. ▲

Замечание. Если второй дифференциал в стационарной точке M 0 функции u f (M ) пред-

ставляет собой в этой точке квазизнакоопределенную квадратичную форму, то для решения вопроса о локальном экстремуме в этой точке следует привлечь дифференциалы более высоких по-

рядков.

Следствие. Рассмотренную теорему легко применить к случаю функции u f (x, y)

двух

независимых переменных x

и y . Обозначим частные производные второго порядка в стационар-

ной точке M

, y

) символами A

, а также D AC B2 . Тогда

x y

y 2

M 0

при выполнении условий теоремы о достаточных условиях экстремума функция u f (x, y)

имеет

в точке M 0

а) строгий локальный минимум, если D 0

и A 0

( C 0 );

б) строгий локальный максимум, если D 0

и A 0 ( C 0 ).

Если же D 0 в точке M 0 ,

то функция u f (x, y)

не имеет в этой точке локального экстремума.

Случай D 0 с учетом замечания к теореме требует дополнительного исследования.

Пример. Найти точки локального экстремума функции трех переменных

u x2 y2 z2 2y 2z ,

(24)

где – действительное число, отличное от нуля.

∆ Так как

2x ,

u 2 y 2 ,

u 2z 2

то единственной стационарной точкой является точка M 0 (0, 1, 1) . Далее очевидно, что второй

дифференциал в этой точке имеет вид

d 2u

2 (dx)2 2(dy)2 2(dz)2 .

(25)

Для того чтобы воспользоваться критерием Сильвестра, составим матрицу

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.04.2019259.07 Кб14(5) грунтоведение.doc
#
20.11.2018253.44 Кб23(5) грунтоведение.doc
#
12.02.201531.23 Кб1800001-01 12 01-ЛУ (Текст программы).doc
#
09.11.20192.11 Mб33009740_82256_lekcii_po_chislennym_metodam_34_ch...doc
#
20.08.20192.18 Mб901 ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ.doc
#
12.02.2015948.33 Кб1401_03 Лекции ФМП.pdf
#
20.08.20191.43 Mб1302 ИЗУЧЕНИЕ СТРОЕНИЯ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ МЕТОДОМ...doc
#
12.02.2015960.84 Кб3002 Клинически прикладная антропология.pdf
#
12.02.20151.63 Mб3503 Антропология психического здоровья.pdf
#
20.09.2019236.54 Кб1003_ISSLEDOVANIE_STRUKTUR_I_SVOJSTV_STALI_POSLE.doc
#
12.02.2015775.02 Кб6704 Антропология народной медицины.pdf