1.1. Метод половинного деления.

Для уточнения корня нелинейного уравнения (1) на отрезке , где , а производная сохраняет знак, разделим отрезок пополам и исследуем знак функции в полученной точке , где . Из двух отрезков и выбираем тот, на котором функция меняет знак. Уменьшая новый отрезок в два раза, повторяем процесс и т.д. Получим последовательность отрезков , на концах которых выполняется неравенство , где . Последовательность является монотонной неубывающей ограниченной последовательностью; а - монотонной невозрастающей ограниченной последовательностью. Следовательно, существует предел:

.

Тогда .

до тех пор, пока не будет получен корень с заданной точностью.

Кроме метода дихотомии для уточнения корня на применяются итерационные методы (методы последовательных приближений).

1.1. Метод простых итераций.

Пусть известно, что нелинейное уравнение имеет на отрезке единственный вещественный корень . Требуется найти этот корень с заданной точностью. Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение к виду

(2)

Выберем произвольно приближенное значение корня и вычислим . Найденное значение подставим в правую часть соотношения (2) и вычислим . Продолжая процесс вычислений дальше, получим числовую последовательность . Если существует предел этой последовательности, то он и является корнем уравнения (2). В самом деле, пусть . Тогда, переходя к пределу в равенстве и учитывая непрерывность функции на отрезке , получим или .

Корень можно вычислить с заданной точностью по итерационной формуле

(3)

Достаточное условие, при котором итерационный процесс сходится, определяет следующая теорема: пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения и выполняется условие

, (4)

тогда процесс итераций (3) сходится независимо от начального значения и предельное значение является единственным корнем уравнения (2) на . Точка называется неподвижной точкой для уравнения (2).

1.2. Геометрическая интерпретация метода простых итераций.

П остроим два графика: и . Абсцисса точки пересечения графиков – корень . Построим итерационный процесс. Зададим . Вычислим – первое приближение и – второе приближение. В первом случае (Рис.5) процесс сходящийся ( ). Во втором случае (Рис.6) процесс расходящийся ( ).

1.3. Приведение нелинейного уравнения к виду , допускающему сходящиеся итерации.

В ыполнение условия сходимости можно добиться путем перехода от исходного уравнения к эквивалентному виду следующим образом: умножим обе части уравнения (1) на , затем прибавим к обеим частям по , тогда . Обозначим , тогда . Константа выбирается так, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости итерационного процесса (4), т.е. . Это условие равносильно , отсюда при и при .

Требуемую точность вычислений можно обеспечить путем использования оценок приближения к корню :

1) ; 2)

П ри второе неравенство примет вид . Таким образом, если , то . Очевидно, что чем меньше , тем быстрее сходится процесс итераций. Практически грубую оценку приближенного решения можно получить без дополнительных вычислений при . В этом случае (Рис.7) итерации попеременно оказываются то с одной, то с другой стороны корня, так что корень заключен в интервале . Это надежная, хотя и грубая оценка, но она неприменима при , когда итерации сходятся к корню монотонно, т.е. с одной стороны. Вблизи корня итерации сходятся примерно так же, как геометрическая прогрессия со знаменателем . Чтобы сумма дальнейших членов прогрессии не превосходила , должен выполняться критерий сходимости

.

При выполнении этого условия процесс итераций можно прекращать. Метод простых итераций и почти все другие итерационные методы имеют два достоинства:

- являются универсальными и самоисправляющимися, то есть любая неточность на каком – либо шаге итераций не отразится на конечном результате, а лишь на количестве итераций. Подобные ошибки устойчивы даже по отношению к грубым ошибкам (сбоям ЭВМ), если только ошибка не выбрасывает очередное приближение за пределы области сходимости.

- позволяют достигнуть любой заданной точности при любом начальном приближении .

Недостатки методов:

- трудность приведения уравнения (1) к виду (2).

- если начальное приближение далеко от корня, то число итераций достаточно большое. Объем вычислений возрастает.

Процесс итераций заканчивается при выполнении двух критериев:

1. Когда два последних приближения отличается между собой по модулю на заданную величину : . Этого критерия недостаточно, так как в случае крутизны графика, данное условие будет выполнено, но может находиться далеко от корня.

2. Мера удовлетворения уравнению последнего приближения корня: . Отдельно второго критерия недостаточно, так как при пологой функции условие может быть выполнено, но может быть далеко от корня.

Пример. Методом итераций найти корни уравнения .

Д ля нахождения интервала расположения корней воспользуемся графическим методом. Для этого преобразуем исходное уравнение к виду и построим два графика и (Рис.8). Абсцисса точки пересечения этих графиков является приближенным значением корня . Более точные значения можно получить по итерационной формуле (3). Из рисунка видно, что корень находится на отрезке . Выберем ; , . На концах отрезка функция меняет знак на .

Запишем исходное уравнение в эквивалентном виде: , где . Выберем . Для получения корня процесс итераций сходится, так как .

Таким образом, рабочая формула метода простых итераций будет иметь вид:

.