8.2. Метод сеток для уравнений гиперболического типа.

Рассмотрим свободные колебания однородной ограниченной струны длины ( ). Поперечное сечение при для любого момента времени удовлетворяет уравнению гиперболического типа вида:

(55)

где , и будем искать решение уравнения (55) при заданных начальных и краевых условиях:

, , при (56)

при (57)

Решим эту задачу методом сеток. Как и в случае параболического уравнения, заменим прямоугольную область и сеточной , где , , . Шаг по оси - , шаг по оси - .

На сетке приближенно заменим дифференциальное уравнение (55) конечно-разностным аналогом:

(58)

При уравнение (58) упрощается и принимает вид:

откуда

(59)

Из уравнения (59) видно, что для получения значений в -м слое используются значения в двух предыдущих слоях -м и -м. Для начала вычислений по формуле (59) также необходимо знать значения и на нулевом слое . Используя начальное условие , можно определить значения на фиктивном слое с номером . Для этого заменим производную в условии конечно-разностным соотношением: , где . Отсюда находим . Зная значения на слое , можно начать вычисления. Краевые условия (59) используются для получения значений и .

9. Метод а.Н. Крылова для нахождения коэффициентов характеристическОго многочлена.

Этот метод позволяет построить для заданной матрицы характеристический многочлен , который можно записать в виде:

Согласно теореме Гамильтона-Кэли сама матрица удовлетворяет характеристическому уравнению , а значит . Умножим это равенство на произвольный вектор и получим . Обозначив , , …, , будем иметь . Это векторное равенство эквивалентно системе уравнений относительно коэффициентов характеристического многочлена

,

где - координаты вектора . Решив эту систему каким-либо известным способом, получим коэффициенты характеристического многочлена . При неудачном выборе начального вектора рекомендуется выбрать другой вектор и повторить процесс вычислений снова.

Литература

3.1. Основная литература

	Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.
	Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Физматгиз, 1966.
	Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978.
	Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967.
	Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1987.
	Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.
	Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987.
	Моисеев В.С., Горбунов Д.А. Метод малого параметра для решения задач анализа и синтеза проектных решений на базе неявно заданных функциональных зависимостей. //Изв.вузов, Авиационная техника, 1998, №4, с.3-10.

3.2. Дополнительная литература

1. Иванов В.С., Ляшев А.С. Лабораторный практикум по дисциплине «Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах». Казань, КАИ, 1984.

2. Вахонина Г.С. Методическое руководство к выполнению лабораторных работ по дисциплине “Методы вычислений”. – Казань: КАИ, 1982.

3. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001, 40с.