8. Численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
Рассмотрим приближенные методы решения задач для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными. В общем случае такое уравнение имеет вид:
(49)
где
- независимые переменные,
- искомая функция,
- первые и вторые частные производные
по аргументам
и
.
Решением уравнения (49) называется функция
,
обращающаяся это уравнение в тождество.
График решения (Рис.13) представляет
собой поверхность в пространстве
(интегральная поверхность).
8.1. Метод сеток для уравнения параболического типа.
В качестве примера уравнения параболического
типа остановимся на уравнении
теплопроводности для однородного
стержня длиной
:
(50)
где
- температура и
- время. Будем предполагать, что
.
То есть от уравнения (50) перейдем к
уравнению
(51)
Пусть задано распределение температуры
в начальный момент времени
и законы изменения температуры в
зависимости от времени на концах стержня
и
:
;
.
Требуется найти распределение температуры
вдоль стержня длиной
в любой момент времени
.
Функция
должна быть непрерывна и дважды непрерывно
дифференцируема по своим переменным в
области
.
Область
заменим сеточной (Рис.14), разбивая ее с
помощью шага
по
и с помощью шага
по
.
В результате замены непрерывной области
дискретным множеством узловых точек
,
исходная задача деформируется. Теперь
будем искать решение
только на дискретном множестве
.
Т.е.
- двумерная таблица значений искомой
функции в узловых точках.
Представим уравнение (51) в конечно-разностной
форме, заменяя
и
конечно-разностным аналогом в узловых
точках
:
Получим конечно-разностный аналог
исходной задачи: требуется найти значение
функции
,
удовлетворяющего конечно-разностному
уравнению вида:
,
(52).
и дополнительным условиям:
Получим систему линейных алгебраических
уравнений, которую можно решить любым
известным методом. Исследования показали,
что значения
и
должны быть связаны между собой следующим
образом:
,
где
.
Аппроксимируем уравнение (51)
конечно-разностным
(53)
Решая систему (53) с учетом дополнительных
условий, получим
- искомую функцию в точках
.
Второй вариант конечно-разностного
аналога исходного дифференциального
уравнения, т.н. явная схема, получается
за счет того, что первые производные
в узловых точках
представлены в виде:
,
а вторая производная остается прежней. Получим исходное уравнение в конечно-разностной форме:
.
Считая, что
,
получим
или
,
.
По этой формуле для каждого значения
для слоя
по оси
используются три значения
на предыдущем слое с номером
.
Для начала вычислений используем
дополнительные условия.
В результате решения задачи в
конечно-разностной форме мы получаем
значения искомой функции в точках
(Рис.15), которые являются приближенным
решением исходной задачи. На практике
полагают
,
тогда расчетная формула упрощается и
принимает следующий вид:
.
Данная расчетная формула дает наилучшее приближение к искомому решению, обеспечивая устойчивость конечно-разностной схемы и наилучшую аппроксимацию исходного уравнения конечно-разностным.
Заметим, что идея метода сеток, которая заключается в замене исходной области сеточной и замене исходной задачи конечно-разностным аналогом, используется при решении других типов уравнений в частных производных.
В случае неявной схемы используется
другой вид аппроксимации и новое
соотношение между шагами
и
в виде
.
Исходное дифференциальное уравнение
(51) аппроксимируется конечно-разностным
уравнением вида
(54)
Начальные и граничные условия остаются теми же, что в предыдущем случае. Для решения системы линейных алгебраических уравнений (54) применяется метод прогонки.
Суть метода прогонки состоит в том, что
сначала вычисляются значения
,
выбирается значение
с целью получения требуемой скорости
продвижения оси
.
Обозначим
,
,
,
.
В прямом ходе на очередном
временном слое вычисляются вспомогательные
функции:
В обратном ходе вычисляются значения
искомой функции на
слое по формуле
.
Величина
является значением искомой функции в
точке
,
а
- в точке
.
Погрешность метода
.
Из анализа устойчивости неявной схемы
вытекает, что следует назначать
.