- •Введение
- •Программа
- •1. Ряды
- •1.1. Сходимость числовых рядов
- •1.2. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды
- •1.3. Применение степенных рядов
- •1.4. Ряды Фурье и их применение
- •2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •2.1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных
- •2.2. Экстремум функций нескольких переменных
- •2.3. Оптимизация функций нескольких переменных
- •3. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •3.1. Двойной интеграл. Замена переменных
- •3.2. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
- •3.3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •3.4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •3.5. Криволинейный интеграл первого рода
- •3.6. Криволинейный интеграл второго рода
- •3.7. Теорема Грина и независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •4. Элементы теории поля
- •4.1. Операционное исчисление и его применение
- •Контрольная работа 6
- •Контрольная работа 7
- •Контрольная работа 8
- •5. Теория вероятностей
- •5.1. Основные понятия теории вероятностей
- •5.2. Повторение независимых опытов
- •5.3. Случайные величины и их числовые характеристики
- •5.4. Система двух случайных величин и регрессия
- •6. Основы математической статистики
- •Контрольная работа 9
- •Контрольная работа 10
- •Рекомендательный библиографический список
- •Оглавление
3.7. Теорема Грина и независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
Путь, начальная и конечная точка которого совпадают, называется замкнутым путем или контуром. Ориентированные границы плоских областей являются контурами. Области, ограниченные одним контуром, называются односвязными, а несколькими контурами – многосвязными. Направление обхода границы L области S называется положительным , если при обходе область остается слева. Для ограниченных односвязных областей это направление против часовой стрелки.
Теорема Грина. Если функции P(x, y), Q(x, y) и их частные производные непрерывны в области S с кусочно-гладкой границей L, то справедлива формула
(30)
Следствие. Если Q = x и P = 0 или P = y и Q = 0, то и по (30) площадь области
(31)
Пример 27. Найти площадь, ограниченную эллипсом x = acost, y = bsint.
Решение. При возрастании параметра t от 0 до 2 обход эллипса совершается в положительном направлении (см. пример 25) и поэтому по (31) имеем
Пример 28. Найти по окружности , ориентированной по часовой стрелке.
Решение. Направление обхода окружности по часовой стрелке будет отрицательным и поэтому в (30) следует изменить знак:
Криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит только от конечной и начальной точек пути в односвязной области, тогда и только тогда, когда выражение , стоящее под знаком интеграла, является полным дифференциалом некоторой функции , т.е. , и поэтому
(32)
В односвязной области условием независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования и условием того, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, будет равенство частных производных . Функция , называемая потенциалом векторного поля, может быть найдена по формуле
. (33)
Пример 29. Найти непосредственно и с помощью потенциала интеграл .
Решение. Прямая делит плоскость на две односвязные области.
; .
Так как производные равны между собой, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Выберем путь, изображенный на рис.17.
На и , на и . По формуле (28), подставляя уравнения путей, получим
.
Для вычисления с помощью потенциала выберем произвольную точку области, например, (1, 0). По формулам (32) и (33) имеем
Дифференциальное уравнение первого порядка + + P(x, y) = 0 или P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 является уравнением в полных дифференциалах в односвязной области, если в этой области выполнено условие .
Для такого уравнения dW = P(x, y)dx + Q(x, y)dу = 0 и
W(x, y) = C (34)
есть общее решение этого дифференциального уравнения, где функция W(x, y) является потенциалом, восстановленным по формуле (33).
Пример 30. Решить уравнение
Решение. Это уравнение не относится к изученным ранее типам. Проверим, будет ли оно уравнением в полных дифференциалах на всей плоскости xOy. Перепишем уравнение в виде . Тогда Отсюда и . найдем потенциал по формуле (33), выбрав точку (x0, y0) = (0, 0). Точка (0, 0) принадлежит области определения P(x, y) и Q(x, y) и их частных производных. Тогда
Следовательно, в соответствии с формулой (34) общее решение уравнения имеет вид
.