- •Введение
- •Программа
- •1. Ряды
- •1.1. Сходимость числовых рядов
- •1.2. Степенные ряды. Разложение функций в степенные ряды
- •1.3. Применение степенных рядов
- •1.4. Ряды Фурье и их применение
- •2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •2.1. Частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных
- •2.2. Экстремум функций нескольких переменных
- •2.3. Оптимизация функций нескольких переменных
- •3. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •3.1. Двойной интеграл. Замена переменных
- •3.2. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла
- •3.3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
- •3.4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
- •3.5. Криволинейный интеграл первого рода
- •3.6. Криволинейный интеграл второго рода
- •3.7. Теорема Грина и независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •4. Элементы теории поля
- •4.1. Операционное исчисление и его применение
- •Контрольная работа 6
- •Контрольная работа 7
- •Контрольная работа 8
- •5. Теория вероятностей
- •5.1. Основные понятия теории вероятностей
- •5.2. Повторение независимых опытов
- •5.3. Случайные величины и их числовые характеристики
- •5.4. Система двух случайных величин и регрессия
- •6. Основы математической статистики
- •Контрольная работа 9
- •Контрольная работа 10
- •Рекомендательный библиографический список
- •Оглавление
3.5. Криволинейный интеграл первого рода
Пусть непрерывная функция, заданная на гладкой кривой L. Разобьем кривую L на n элементов. Введем обозначения: lk длина k-го элемента; его произвольная точка.
Криволинейным интегралом первого рода называется конечный предел интегральной суммы
который не зависит от способа разбиения и выбора точек.
Из определения криволинейного интеграла следует формула для вычисления длины кривой:
.
Если функция двух переменных определена на дуге кривой , заданной параметрическими уравнениями и , где , то , элемент дуги и криволинейный интеграл вычисляются по формуле
. (24)
В частности, если кривая задана явно: , где , то
. (25)
В пространстве для функции трех переменных на дуге линии, заданной параметрическими уравнениями: , и , где , аналогично имеем
; ; ; (26)
; .
Аналогичные формулы справедливы и для пространства. Если плотность не задана, то считаем (однородная дуга).
Пример 22. Найти , если L – отрезок прямой между точками А(0, 2) и В(4, 0).
Решение. Уравнение отрезка L прямой имеет вид
Так как , то и по формуле (25) имеем
Решение. Плотность не задана, и поэтому считаем , т.е. находим геометрический центр тяжести. Арка циклоиды L , которая задается параметрическими уравнениями и , где (рис.14), симметрична относительно оси , и поэтому центр тяжести , т.е. . Так как и , то по (24) и (26) имеем
3.6. Криволинейный интеграл второго рода
Пусть векторная функция двух переменных определена в некоторой области, содержащей ориентированную дугу линии , заданную параметрически и , где начальной точке дуги L соответствует , конечной точке – , а вектор . Тогда криволинейный интеграл второго рода от скалярного произведения вычисляется следующим образом:
(27)
В частности, если кривая задана явным образом , где , то формула (22) преобразуется к виду
(28)
В пространстве для векторной функции трех переменных на ориентированной дуге линии , заданной параметрически , и , где обход соответствует изменению параметра от до , аналогично имеем
(29)
С физической точки зрения криволинейный интеграл второго рода представляет собой работу переменной силы при движении материальной точки по траектории .
Решение. Ориентированная дуга, или путь, состоит из двух частей: и , т.е. (рис.15). Уравнение кривой L1 y = 0, где 0 х 1, обход совершается от точки О(0, 0) к А(1, 0). Уравнение кривой L2 имеет вид y = 2х – 2, где 1 х 0, обход от точки А(1, 0) к В(0, –2). Следовательно, используя свойство аддитивности и формулу (28), получим
Пример 25. Найти работу силового поля при движении точки в положительном направлении по части эллипса, лежащей в I квадранте.
Пример 26. Найти , если и точка перемещается по первому витку винтовой линии в направлении увеличения параметра.
Решение. Первому витку винтовой линии соответствует изменение параметра t от 0 до 2. Так как , то и по формуле (29) получим