3.2. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла

Если тело V ограничено сверху непрерывной поверхностью , снизу поверхностью , а боковой поверхностью является цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Oz (проекцией тела V на плоскость является область ), то объем этого тела вычисляется по формуле

. (19)

Пример 16. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , , (рис.7).

Решение. Плоскости и являются боковыми границами тела, так как в их уравнениях нет переменной z. Область интегрирования ограничена линиями (следами боковых границ) c такими же уравнениями как у боковых стенок и и проекцией на Oxy линии пересечения поверхностей и . Исключая из этих уравнений z, получим линии пересечения: (рис.8).

Выбрав внутреннюю точку S, например O (0,0), определим верхнюю поверхность (крышку) и нижнюю поверхность (дно), сравнивая значения аппликат. Для поверхности находим . Для поверхности находим = –1. Так как , то – крышка и – дно. По формуле (19), рассматривая область S как область I типа и расставляя пределы интегрирования, получим объем тела

3.3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Тройной интеграл определяется аналогично двойному интегралу как предел соответствующих интегральных сумм для функции трех переменных. Условия существования и свойства тройного интеграла такие же, как у двойного интеграла. Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов. Предположим, что областью интегрирования является тело , ограниченное снизу поверхностью , а сверху – поверхностью . Пусть это тело проектируется на область D плоскости , элементарный объем . Тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области проекции D и интегралу по dz.

Если функция непрерывна в области , то

В частности, объем

.

Пример 17. Вычислить , если областью интегрирования служит пирамида, ограниченная плоскостями , , и (рис.9).

Решение. Область , на которую проектируется пирамида, есть треугольник на плоскости , ограниченный прямыми , , . Так как на нижней поверхности , а на верхней , то

.

Вычисляя последовательно, получим

,

,

.

Следовательно,

.

3.4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах

Наряду с декартовыми координатами при вычислении тройного интеграла часто используется цилиндрическая система координат. Цилиндрические координаты связаны с декартовыми следующими соотношениями:

, , .

Тогда замена координат имеет вид

, (20)

где – область интегрирования в новых координатах и якобиан .

Пример 18. Определить массу прямого кругового цилиндра V с высотой h и радиусом основания R, если плотность  в любой точке цилиндра равна расстоянию от этой точки до оси цилиндра  = r.

Решение. Введем цилиндрическую систему координат, направив ось аппликат по оси цилиндра и совместив плоскость с нижним основанием цилиндра. Масса цилиндра равна тройному интегралу от плотности и по формуле (20)

.

Пусть теперь в пространстве задано тело , плотность которого в любой точке есть функция координат этой точки: . Координаты центра тяжести этого тела находятся по формулам

; ; . (21)

Момент инерции тела относительно оси

.

Аналогичные формулы имеют место для моментов инерции и относительно осей и соответственно:

; . (22)

Для плоских областей справедливы такие же формулы, как (21) и (17), но вместо тройного интеграла используется двойной.

Пример 19. Найти абсциссу центра тяжести тела из примера 16. Тело считать однородным с плотностью .

Решение. Так как , то по (21) имеем

.

Пример 20. Найти момент инерции тела относительно оси Oz, ограниченного поверхностями и (рис.10). Плотность  = 1.

Решение. Найдем проекцию на плоскость xOy линии пересечения поверхностей z = 1 + x² + y² и z = 3: 1 + x² + y² = 3, откуда x² + y² = 2. Это окружность радиусом с центром в начале координат. Воспользовавшись формулой (20), перейдем к цилиндрическим координатам:

.

В сферической системе координат положение точки М в пространстве (рис.11) задается углом  , отсчитываемым от плоскости xOy, полярным (или меридиональным) углом  проекции М₁ точки М на плоскость xOy и сферическим радиусом , равным расстоянию от точки до полюса O (начала координат), т.е.  = ОМ. Формулы перехода от декартовой прямоугольной к сферической системе координат имеют вид

В этом случае якобиан и

. (23)

Пример 21. Найти по области V, ограниченной сферой и плоскостями (I октант).

Решение. Тело V – часть шара единичного радиуса, расположенного в первом октанте (рис.12). Для точек области V в сферической системе координат имеем 0    /2; 0    /2 и 0    R = 1. Тогда по формуле (18) получим