Расчет ошибок косвенного измерения

Пусть искомая величина Z является функцией двух переменных: X и Y, т.е

Z=f(x, y).

Установлено, что абсолютная ошибка функции y=f(x) равна произведению производной этой функции на абсолютную ошибку аргумента, т. е.

.

Поэтому для определения абсолютной ошибки функции Z= f(x,y) находят полный дифференциал этой функции:

dz= , (2)

где и - частные производные функции Z по аргументам X и Y.

Каждая частная производная находится как простая производная функции Z=f(x,y) по соответствующему аргументу, если оставшийся аргумент рассматривать как постоянный множитель.

При малых значениях дифференциалов аргументов dx и dy (или приращений аргументов и ) приращение функции .

В этом случае формула (2) принимает вид

Z= .

В качестве средней абсолютной погрешности принимают среднюю квадратичную погрешность , которая определяется соотношением

, (3)

где и -суммарные погрешности измерений величины X и Y, определяемые по формуле (1).

Средняя относительная погрешность величины Z рассчитывается по формуле .

Следовательно, разделив обе части выражения (3) на , получим относительную погрешность функции Z:

.

Зная относительную погрешность, находят абсолютную ошибку величины Z:

Окончательный результат измерений записывают так:

Z= .

Рассмотрим расчет ошибок на примере определения плотности твердого тела правильной геометрической формы. Для цилиндра массой m, высотой h, диаметром D средняя плотность определяется соотношением

.

Используя формулу (3), для нашего случая получаем

.

Найдя частные производные , имеем

.

Разделив левую и правую части последнего выражения на ,

получаем

,

отсюда .

Таким образом, относительная погрешность плотности

.

Зная относительную ошибку, находим абсолютную погрешность плотности ( ):

.

Окончательный результат запишем так:

При обработке результатов измерений следует помнить, что точность вычислений должна быть согласована с точностью самих измерений. Например, если хотя бы одна из величин в каком-либо выражении определена с точностью до двух значащих цифр, то нет смысла вести вычисление результата с точностью большей двух значащих цифр. Для уточнения последней значащей цифры результата нужно вычислить следующую за ней цифру: если она окажется меньше 5, то ее следует просто отбросить; если она больше 5 или равна 5, то отбросив ее, следует предыдущую цифру увеличить на единицу.

Вычисление погрешности измерений производят с такой же точностью, что и вычисление самой измеряемой величины.

Например:

Правильно: Неправильно:

Z= 284 Z= 284,5

Z= 52,7 Z=52,74

Z= 4,750 Z=4,75

ОПИСАНИЕ ПРИБОРОВ