- •Дискретная математика.
- •Множества.
- •П римеры
- •Или по другому
- •Операции над множествами.
- •Основные свойства операций над множествами.
- •Алгебра высказываний.
- •Логические операции над высказываниями.
- •Отрицание.
- •Конъюнкция.
- •Эквиваленция
- •Импликация.
- •Формулы алгебры высказываний.
- •Элементарные высказывания, символы логических переменных – формулы;
- •Если f1 и f2 – формулы алгебры высказываний, то
- •Других формул алгебры высказываний нет.
- •Равносильность формул.
- •Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.
- •Приведение формулы к сднф.
- •Совершенная конъюнктивная нормальная форма.
- •Приведение формулы к скнф.
- •Полнота и замкнутость.
- •Минимизация днф.
- •Способы задания булевых функций.
- •Табличный способ задания.
- •Графический способ задания.
- •Аналитический способ задания.
- •Элементы теории графов.
- •Матрицы графов.
- •Некоторые общие понятия теории графов.
- •Взвешенные графы и алгоритмы поиска кратчайшего пути.
- •Задача о кратчайших путях.
- •Элементы теории алгоритмов.
- •Понятие автомата.
- •Машина Тьюринга.
- •Автомат Мили.
- •Правило суммы.
- •Правило прямого произведения.
- •Размещения с повторениями.
- •Размещения без повторений.
- •Перестановки.
- •Сочетания.
- •Сочетания с повторениями.
Дискретная математика.
Дискретная математика – это часть математики, занимающаяся изучением свойств структур дискретного характера. Эти структуры возникают как в самой математике, так и в ее приложениях, в том числе в экономике, кибернетике и т.д. Дискретность – антипод непрерывности. Дискретное – раздельное, состоящее из разрозненных частей.
Использование классической или дискретной математики как аппарата исследования связано с характером задач, которые рассматривает исследователь, какую модель он рассматривает дискретную или непрерывную. Например, конечное по количеству – всегда дискретно. Методы дискретной математики характеризуются необходимостью отказа от основополагающих понятий классической математики, таких как предел, производная, интеграл и т.д.
Множества.
Состав объектов исследования может быть представлен в виде дискретного множества. Множество – основное понятие в теории множеств, которое вводится без определения.
Основные понятия.
Множество состоит из элементов. Принадлежность элемента a множеству М обозначается a M, непринадлежность – a M. Множество A называется подмножеством множества В (обозначается А В), если всякий элемент из А является элементом В.
П римеры
В В В 1. Множество студентов ВВФ МТУСИ.
2. Множество задач в контрольной работе.
А 3. Множество натуральных чисел.
4. Множество натуральных чисел, не превосходящих 100.
Некоторые множества имеют стандартные обозначения.
N – множество всех натуральных чисел;
Z – множество всех целых чисел;
Q – множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел;
C – множество всех комплексных чисел;
B = {0, 1}, это множество называется булевым отрезком.
Пусть Р – некоторое свойство, которым может обладать или не обладать элемент множества А (a A). Тогда через { a A │P(a)} обозначается множество всех элементов, обладающих свойством Р.
П р и м е р . М = {n N │n/2 N, n ≤ 100} – множество четных чисел, не превышающих 100.
Или по другому
М = { x │P(x)} − множество М, состоящее из элементов x, обладающих свойством Р.
Операции над множествами.
Объединением множеств A и B (A B) называется множество, состоящее из всех тех элементов. которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
Разностью множеств A и B (A \ B) называется множество всех тех и только тех элементов множества А, которые не содержатся в В.
Если при решении данной задачи рассматриваются только подмножества некоторого множества U, то множество U называется универсумом (универсальным множеством).
Дополнением множества А (обозначается называется множество U \ A .
Пересечением множеств A и B (A B) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат A и B.
A A B
А В A \ B A B
Геометрическое представление множеств называется диаграммой Венна.
П р и м е р 1. Пусть U = {1, 2, 3, 4), A = {1, 3, 4}, B = {2, 3}, C = {1, 4}. Тогда,
П р и м е р 2 . Пусть U ={a, b, c, d, e}. A ={a, b}, B = {a, c, d}, C = {b, c, d, e}. Тогда
A (B C) = {a, b} ({a, c, d} {b, c, d, e}) = {a, b} {a, b, c, d, e}= {a, b}.