Формулы алгебры высказываний.

Предположим, что имеется некоторое множество элементарных высказываний (типа 2 х 2 = 4). Будем обозначать их начальными буквами латинского алфавита. Введем в рассмотрение высказывательные переменные – символы, вместо которых можно подставлять высказывания. Их будем обозначать последними буквами латинского алфавита (x, y, z, ...).

Под формулами алгебры высказываний будем понимать осмысленные выражения, полученные из символов элементарных высказываний, символов высказывательных переменных, знаков операций и скобок.

П р и м е р ы .

Определение:

1. Элементарные высказывания, символы логических переменных – формулы;

2. Если f1 и f2 – формулы алгебры высказываний, то

формулы алгебры высказываний.

3. Других формул алгебры высказываний нет.

Замечание: Для упрощения формул алгебры высказываний приняты следующие упрощения.

1. Наружные скобки в записи формул можно опустить.

2. Считается по определению, что конъюнкция «сильнее» дизъюнкции, а обе они «сильнее» → и ~. Поэтому часть скобок, определяющих порядок действий, можно опустить.

3. Скобки, определяющие порядок действий в ассоциативном случае можно опустить.

4. Конъюнкцию будем обозначать ∙ или опускать.

Например, упрощенная запись формулы

.

П р и м е р 1 .С помощью равносильных преобразований доказать равенство:

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1

1 1 0 1 0 1

П р и м е р 2.

что и требовалось доказать.

Равносильность формул.

Определение. Две формулы алгебры высказываний f₁(x₁, x₂, ...., x_n) и f₂(x₁, x₂, ...., x_n) называются равносильными (f₁(x₁, x₂, ...., x_n) ≡ f₂(x₁, x₂, ...., x_n)), если

В высказываниях нас не интересует содержательная часть, а только значения истинности (0 или 1). Множество таких наборов конечно и равно 2ⁿ, и функцию можно задать таблично. Такая таблица называется таблицей истинности формулы.

П р и м е р 1 .Составить таблицу истинности формулы f =

Для построения таблицы истинности f вычислим ее значения на каждом из восьми наборов переменных.

0 0 0 1 1 0 0

0 0 1 1 1 0 0

0 1 0 1 1 0 0

0 1 1 1 1 0 0

1 0 0 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1 1

1 1 0 0 1 0 0

1 1 1 0 1 1 1

П р и м е р 2 . Доказать равносильность формул

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 1 0

1 0 1 0 0 1 0

Левая и правая части рассматриваемой формулы принимают одни и те же значения для одинаковых наборах переменных x₁ и x₂, что и доказывает равносильность формул.

Как видно из предыдущих примеров, одна и та же логическая формула может быть представлена с помощью различных наборов логических операций. Существуют наборы логических операций, с помощью которых можно выразить любую логическую формулу. Такие наборы называют функционально полными системами или базисами.

Примерами функционально полных систем являются { }, { } и др. Особое значение имеет базис .

Определение. Формулы алгебры высказываний, при образовании которых не использовались операции, отличные от , называют булевыми формулами алгебры высказываний.