Основные свойства операций над множествами.

Некоторые свойства операций над множествами похожи на свойства алгебраических операций.

1. Свойство идемпотентности:

2. Свойство коммутативности операций объединения и пересечения:

3. Свойство ассоциативности операций объединения и пересечения

4. Свойство дистрибутивности

5. Свойство поглощения

Доказательства можно провести с помощью диаграммы Венна (самостоятельно).

Число элементов конечного множества А называется его мощностью и обозначается |A|.

Определение. Множество называется декартовым произведением множеств А, если члены этого множества состоят из упорядоченных пар (а, b), таких, что а А, b B.

Алгебра высказываний.

С алгебры высказываний начинается изучение логики. Логика, созданная, как наука, Аристотелем (384-322 до н. э.), на протяжении столетий использовалась как фундамент для многих наук, включая теологию, философию, математику. Она – тот фундамент, на котором построено все здание математики. Логика – это наука, которая позволяет определить истинность или ложность того или иного математического рассуждения, исходя из некоторых первичных утверждений, называемых аксиомами. Логика применяется также в информатике при построении компьютерных программ и доказательства их корректности. Понятия и средства логики лежат и в основе современных информационных технологий.

Основными объектами традиционных разделов логики являются высказывания.

Высказывание – это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. Все научные истины, события повседневной жизни, ситуации, возникающие в экономике и процессах управления и т.п. формулируются в виде высказываний. Повелительные, вопросительные и бессмысленные предложения не являются высказываниями.

Примеры высказываний: «Дважды два – четыре», «Рубль – российская валюта», Сережа – брат Олега», «2 > 3», «Волга впадает в Средиземное море». Первое и второе высказывания являются истинными, четвертое и пятое ложными, третье предложение может считаться высказыванием только в определенных условиях только, когда мы знаем Сережу и Олега и, следовательно, можем сказать истинно это высказывание или ложно.

Примеры предложений, не являющихся высказываниями: Кто Вы? (вопрос), Выполните это задание к следующему занятию.

В дальнейшем нас будет интересовать не содержание высказывания, а значение его истинности («истина» или «ложь»). Таким образом, мы имеем только два класса высказываний: класс истинных высказываний и класс ложных высказываний.

Введем обозначения: если а – высказывание, то через будем обозначать значение его истинности.

Если a – истинное высказывание, то =1.

Если а – ложное высказывание, то = 0.

Логические операции над высказываниями.

В русском языке для образования сложного предложения из простых используют связки – особые части речи, соединяющие отдельные предложения (и, или, таким образом, отсюда следует, и др.). В логике такие связки должны быть вполне однозначно определены. Роль этих связок выполняют логические операции. Т. к. нас интересуют не сами высказывания, а только значения их истинности, то для определения операции достаточно определить значение истинности результата применения операции.