§8. Задача о стержне.

Предположим, что рассматриваемый стержень деформируется в вертикальной плоскости и расположен вдоль отрезка [0,1] оси Ox. Применяя соображения Эйлера, предположим стержень расслоенным по вертикали на элементарные плоские слои. Существует (это стандартное предположение) слой, который при деформациях не меняет своей длины ни на каком участке. Этот слой называют нейтральным. Пересечение нейтрального слоя с продольным сечением балки образует нейтральную линию. Отклонение нейтральной линии от положения равновесия называют деформацией стержня. При изгибе стержня слои, отличные от нейтрального, локально растягиваются или сжимаются, сопротивляясь по закону Гука (линейной упругости) и накапливая за счет этого энергию изгиба. Предполагая деформации малыми, для прояснения сути проведем рассуждения в терминах малых элементов, опуская малые старших порядков.

Мы считаем деформации стержня непрерывными функциями, заданными на отрезке [0,1]. Пусть u(x)–форма нейтральной линии (деформации), принятая под воздействием на элемент [x,x+dx) внешней силы f(x)dx. Работа, выполняемая этой силой при перемещении нашего элемента на дистанцию u(x), равна u(x)f(x)dx. В целом вдоль всего стержня затрачивается энергия

.

Полная энергия , накапливаемая стержнем под воздействием внешней нагрузки, определяется еще дополнительным слагаемым , описывающим изгибную энергию стержня. Подчеркнем, что рассматриваемая функция u(x) – это гипотетическая (виртуальная) деформация. Реальная деформация должна давать минимум

Пусть . Для нулевой деформации стержня промежуток по вертикали, занимаемый стержнем, обозначим через , считая от нейтральной линии. Рассмотрим элементарный слой между h и h+dh, обозначая через dS(h) площадь поперечного сечения этого слоя. За S(h) здесь может быть принята площадь поперечного сечения стержня в точке x между уровнями от до . Рассматривая кусок стержня на сегменте , мы у этого слоя будем иметь начальную длину Сопротивление растяжению или сжатию этот слой оказывает по закону Гука с силой, равной kdl(h). Здесь dl(h) – удлинение рассматриваемого слоя и k – коэффициент упругости, равный

,

где E(h) – модуль Юнга материала слоя. Работа по преодолению линейной силы на промежутке равна . Поэтому энергия dV(h), накапливаемая элементарным слоем (уровня h) при изменении длины на dl(h), равна

.

Найдем удлинение dl(h) нашего слоя. Оно определяется его расстоянием h

от нейтральной линии и углом между поперечными сечениями в точках x и . С точностью до малых более высокого порядка , в силу чего энергия, накапливаемая элементарным слоем на уровне h, равна

.

Интегрирование последней величины по толщине балки, т.е. по h, в пределах

от до , приводит к энергии изгиба , накапливаемой куском балки на участке . Она определяется величиной

(8.1)

где положено

Угол между нормалями совпадает с углом между касательными, тангенсы углов наклона которых есть и . Поэтому , что означает . Последнее приводит (8.1) к виду

Следовательно, изгибная энергия стержня

Таким образом, для полной энергии стержня, деформированного под влиянием внешней нагрузки, мы для виртуальной деформации u(x) имеем

= (8.2)

Стержень с жестко зажатыми концами.

Предположим, что стержень жестко зажат на концах. Это означает выполнение условий

u(0)= = 0, (8.3)

В силу вариационного принципа (принципа Лагранжа), реальная деформация струны решает задачу о минимизации функционала (8.2) при условиях (8.3). Таким образом, мы приходим к

задаче Пуассона при . Уравнение Эйлера-Пуассона в данном случае принимает вид

,

и, значит, реальная деформация стержня должна являться решением задачи

Стержень с шарнирно закрепленным концом.

Предположим, что стержень жестко зажат на левом конце (в точке x=0), а правый конец (в точке x=1) шарнирно закреплен на опоре. В силу принципа Лагранжа, реальная деформация стержня решает задачу о минимизации функционала (8.2) при условиях u(0)= = 0, u(1)=0. Приравняв первую вариацию к нулю, для всех дважды непрерывно дифференцируемых функций h, удовлетворяющих условиям , получим

(8.4)

После двукратного интегрирования по частям первого интеграла, равенство (8.4) принимает вид

(8.5)

Равенство (8.5) справедливо в том числе и для дважды непрерывно дифференцируемых функций h, удовлетворяющих условиям После применения леммы 7.1, имеем тождество , подставив которое в (8.5), получим равенство

Последнее равенство справедливо в том числе и для тех h, для которых , откуда следует, что

Мы получили, что реальная деформация стержня с шарнирно закрепленным правым и жестко защемленным левым концом должна являться решением задачи

Задачи.

З.8.1 Опишите математическую модель стержня, жестко защемленного на левом конце (в точке x=0) и имеющего упругую опору (пружину жесткости ) на правом конце (в точке x=1).

З.8.2. Опишите математическую модель стержня со свободным правым концом (в точке x=1), жестко защемленного на левом конце (в точке x=0).

З.8.3. Опишите математическую модель стержня, имеющего упругие опоры на обоих концах.

З.8.4. Опишите математическую модель системы, состоящей из двух шарнирно-сочлененных в точке стержней. Концы конструкции предполагаются жестко зажатыми (в точках x=0 и x=1).

Указание. Следует разбить интегралы в (8.2) на сумму– левее и правее точки . Решение u(x) теряет гладкость в точке , поэтому при интегрировании по частям будьте аккуратны.

З.8.5. Опишите математическую модель системы, состоящей из двух шарнирно-сочлененных в точке стержней при наличии в точке упругой опоры. Концы конструкции предполагаются шарнирно закрепленными (в точках x=0 и x=1).

Указание. В функционале энергии (8.2) появится дополнительное слагаемое , где – коэффициент упругости опоры.