Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, Т.В. Перловская

О некоторых натуральных одномерных краевых задачах

Научно-методическая сказка для взрослых

Воронеж

2007

УДК 51

П 485

Покорный Ю.В., Зверева М.Б., Перловская Т.В.

П 485 О некоторых натуральных одномерных краевых задачах: Научно-методическое пособие. – Воронеж, 2007. –37с., библ. 13.

ISBN 5-7458-1125-0

Пособие раскрывает математический генезис разнообразных нестандартных краевых задач, возникающих при моделировании упругих деформаций систем одномерных континуумов. Описываемые методы корректно обосновывают условия сочленения (трансмиссии).

Рассчитано на студентов, аспирантов и заинтересованных специалистов, не удовлетворенных интуитивно-наглядными мотивациями в серьезных задачах.

ISBN 5-7458-1125-0 © Ю.В. Покорный, 2007

Возможно, в это трудно поверить, что математической моделью де­формаций однородной струны, «испорченной» в одной точке

упругой подпоркой (пружиной) будет обычное для струны уравнение (струна предполагается натянутой вдоль отрезка )

(1)

( здесь порождается внешней силой) с обычными условиями закрепления концов

(2)

но с одной существенной оговоркой, а именно – уравнение (1) справедливо не на всем отрезке , а с исключенной точкой , т.е. на каждом полуинтервале и . А в этой точке помимо условия непрерывности

(3)

должно выполняться и еще одно условие

(4)

учитывающее упругую реакцию пружины.

Совсем до недавних времен эта простая физически ситуация не вкладывалась в стандартные теории для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и не встречалась на страницах не только учебников, но и монографий. Согласно традициям учебной математики задачу (1)-(4) нельзя относить к краевым задачам, где дополнительные к уравнению условия являются граничными, т.е. заданы в граничных точках, ибо точка явно не граничная.

С другой стороны, если опираться на такую науку, как теория обобщенных функций, то моделью данной физической задачи может служить уравнение

(5)

при условиях (2). В (5) через обозначена так называемая дельта-функция, которая по мнению физиков есть производная от функции Хевисайда

т.е. производная от скачка.

Об адекватности обоих описаний одной и той же задачи можно судить, если опереться на классические вариационные принципы физики, весьма эффективно объясняющие все математические особенности подобных «негладких» математических моделей. Проводимый ниже разговор в этом направлении позволит выяснить, что для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка краевая задача (т.е. задача с условиями на концах) гораздо более физична, чем привычная из ОДУ задача Коши.

Ю.В. Покорный, М.Б. Зверева, Т.В. Перловская 1

Научно-методическая сказка для взрослых 1

Воронеж 1

§1. Краевая задача – курьез для ОДУ?! 7

§2. Как в математику вошли краевые задачи. 8

§3. Уравнение Эйлера. 11

Согласно (3.5), получаем, что для любой 12

Имеем 13

Рассмотрим функцию 13

Простейшие первые интегралы уравнения Эйлера. 15

Упражнения. 15

§4. Задача о брахистохроне. 16

Выражая через y, получим 17

Откуда 17

Постоянные С и С могут быть найдены из условий (4.1). 18

Подставим теперь полученное тождество (5.6) в (5.5). Получим 20

20

т.е. 20

Подставим теперь полученное тождество (5.11) в (5.10). Получим 21

Задачи. 22

З.5.1 Опишите условия для струны, упруго закрепленной на обоих концах. 22

З.5.2 Выведите дифференциальное уравнение, моделирующее деформации струны, помещенной в упругую среду. 22

Указание. В функционале энергии (5.2) появится слагаемое , где q(x)dx –- локальный коэффициент упругости среды. 22

З.5.3 Опишите математическую модель струны, жестко закрепленной в точках x=0 и x=l и подпертой пружиной жесткости k во внутренней точке . 22