§2. Как в математику вошли краевые задачи.
Развитие естествознания в конце 18 – начале 19 веков потребовало перехода от анализа задач механики к анализу более сложных объектов, которые уже не могли описываться конечным числом параметров. Одним из первых внешне совсем простых, а по существу – совершенно нетривиальных объектов с бесконечным числом (континуумом) параметров была струна. Магические свойства этого внешне тривиального объекта приковывали внимание еще древних греков. В особенности – Пифагора, обнаружившего математические связи между благозвучными сочетаниями колебаний струны.
К концу 18 века уже стало ясно, что звучание однородной струны подчиняется уравнению
,
(2.1)
где u
= u(x,t)
– форма
струны в момент времени t,
если считать, что в состоянии покоя
она была растянута вдоль отрезка [0,l]
оси Ох.
Штрихи здесь
означает производные по длине
,
а точки вверху (ньютоновское обозначение)
– производные по времени, т.е.
.
И вот оказалось, что для однозначности
определения реальной формы струны
необходимы четыре дополнительных
условия. По времени – как бы для ОДУ
условия начального типа, т.е.
,
(2.2)
а по физическим, т.е. пространственным соображениям вместо двух условий на одном (например – левом) конце обязательно должны были присутствовать два условия на двух разных концах
.
(2.3)
Эти условия шли как бы из физики, из натуры, от физической интуиции и с чисто математической точки зрения не очень обсуждались – на тему, а нельзя ли их взять да и заменить двумя условиями на левом конце? Позднее этот вопрос, для физиков крамольный, математиками оказался как бы забытым.
Мы с Вами, дорогой Читатель, этот далеко не праздный вопрос запомнили. Именно он объясняет, почему математика не имеет права даже в ОДУ ограничиваться только начальными задачами.
Уже в момент появления уравнения (2.1), ставшего как бы элементом физического фольклора, мотивация его была чисто интуитивной, а именно, левая часть его отвечает как бы за упругую реакцию элемента струны, а правая – за силу инерции того же элемента.
Первый, кого
такой разговор не удовлетворил, был
Даламбер. Он заметил, что если струна
неоднородна, то величина
– не собственно масса, а локальная
плотность масс – если через
обозначить массу куска струны от 0 до
x,
то
– величина, физически имеющая даже не
ту, что просто масса, размерность.
Даламбер предложил обозначить правую
часть (2.1), имевшую характер силы, через
f(t)
и предположил,
что в каждый фиксированный момент t
уравнение
(2.4)
с условиями
u(0) = 0, u(l) = 0
имеет некое решение
,
связанное с
.
Эту связь он записал в виде
.
Считая, что сила
инерции элемента длины dx
( от х
до x+dx
) с массой
mdx
определяется величиной m
,
откуда
,
и он получил .
Эти весьма нетривиальные соображения Даламбера станут для нас прозрачными, когда мы освоим элементы теории краевых задач. Заметим и роль в них интегральных уравнений. Но это – позднее.
Таким образом, уже здесь существенной оказалась для уравнения (2.1) не одноточечная задача с двумя условиями на одном конце, а задача с двумя условиями на обоих концах. Далее мы обнаружим, что для физических задач наличие условий на концах – своего рода закон природы. И что задача Коши – чисто теоретическая задача в ОДУ, а для описания реальных процессов с континуальными объектами – даже в рамках ОДУ она (задача Коши) – скорее понятие, чем условие.
К середине 19 века было обнаружено (в основном физиками), что большинство дифференциальных уравнений, возникающих в физических процессах и явлениях, имеют вариационную природу. Точнее – они подчиняются вариационным принципам, которые являются своего рода физической аксиомой и в наиболее простой форме звучат так:
среди всех возможных (виртуальных, т.е. теоретически мыслимых) состояний или проявлений реальным для физической системы является то, которое дает минимум полной энергии.
Этот принцип выпал из поля зрения математиков, занимавшихся проблемами математической физики, поскольку он объяснял как бы «в хвост» хорошо уже известные основные типы уравнений математической физики. К сожалению, он вышел из поля зрения дальнейшего развития математики при постановке задач для разного рода упругих систем, где к середине 20 века даже в самых серьезных исследованиях по теории краевых задач (как в [5, 6] и др.) мотивация (обоснование) разнообразных условий трансмиссии, сочленения и даже краевых условий проводилась отсылкой к чисто инженерным работам, авторы которых свои обоснования проводили на языке математики 18 века, даже не подозревая о возможностях в этом плане вариационных методов.
Ниже мы приводим достаточно простую вариационную (в духе Лагранжа) схему обоснования описания разнообразных краевых задач для одномерных континуумов, возникающих в теории упругих систем.
Мы обнаружим, что если опираться на вариационные принципы как на физический постулат, чем они и являются на самом деле, то для континуальных (т.е. с непрерывным пространственным аргументом) объектов помимо дифференциального уравнения обязательно присутствуют дополнительные условия на границе области определения.