![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Математический анализ.
- •Часть 2
- •Введение
- •Программа курса высшей математики (математический анализ)
- •Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование.
- •Задачи:
- •Замена переменной в неопределенном интеграле
- •Задачи:
- •Интегрирование по частям
- •Задачи:
- •Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
- •Задачи:
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Задачи:
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Задачи:
- •Интегралы от тригонометрических функций
- •Задачи:
- •Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Задачи:
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Задачи:
- •Несобственные интегралы
- •Задачи:
- •Индивидуальные семестровые задания
- •Литература
Задачи:
Найти интегралы:
1). |
2). |
3).
|
4).
|
5).
|
6).
|
7).
|
8).
|
9).
|
10).
|
Интегралы от тригонометрических функций
ЛИТЕРАТУРА: [6] п. 26.1 – 26.3
В
интегралах вида:
где m, n – целые числа, используются следующие формулы и приемы:
1).
Если
т.е. нечетное положительное число, то
Аналогично
решаются примеры, где n
– нечетное положительное число.
2). Если m, n – четные положительные числа, то используют формулы:
3).
Если
целые
отрицательные числа одинаковой четности,
то
.
4).
Интегралы вида
приводятся к интегралам от
по формулам:
.
5).
Интегралы вида
,
,
вычисляются с использованием следующих
формул
6).
Интегралы вида
где R
– рациональная функция, вычисляются с
помощью универсальной
тригонометрической подстановки
.
Тогда
Пример
1. Найти
интеграл
.
Решение.
Так как m
= 3 - нечетное положительное число, то
применяя выражения
получим интеграл:
Пример
2.
Найти интеграл
Решение. Так как m = 3, n = 3 – целые отрицательные числа, то
и интеграл примет вид
Пример
3.
Найти интеграл
Решение. Выполним преобразования:
тогда интеграл равен:
Пример
4.
Найти интеграл
Решение.
Делаем подстановку
Тогда
Задачи:
Найти интегралы:
1).
|
2).
|
3).
|
4).
|
5).
|
6).
|
7).
|
8).
|
9).
|
10).
|
11).
|
12).
|
13).
|
14).
|
15).
|
16).
|
Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
ЛИТЕРАТУРА: [5], ч.1, гл.10,§ 7, п.2; [6] п. 27.1, 27.4, 28.1, 29.3.
Геометрически определенный интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей плоских фигур, составляющих криволинейную трапецию, в которой площади частей, расположенных выше оси ОХ, берутся со знаком плюс, а площади частей, расположенных ниже оси ОХ, - со знаком минус.
Если
то справедлива формула Ньютона-Лейбница:
Первообразная вычисляется путем нахождения неопределенного интеграла
Пример
1.
Вычислить интеграл
Решение.
Пример
2. Вычислить
интеграл
Решение.
Так как
то интеграл
Задачи:
Найти интегралы:
1).
|
2).
|
3).
|
4).
|
5).
|
6).
|
7).
|
8).
|
9).
|
10).
|