![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Математический анализ.
- •Часть 2
- •Введение
- •Программа курса высшей математики (математический анализ)
- •Неопределенный интеграл. Непосредственное интегрирование.
- •Задачи:
- •Замена переменной в неопределенном интеграле
- •Задачи:
- •Интегрирование по частям
- •Задачи:
- •Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен
- •Задачи:
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Задачи:
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Задачи:
- •Интегралы от тригонометрических функций
- •Задачи:
- •Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Задачи:
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Задачи:
- •Несобственные интегралы
- •Задачи:
- •Индивидуальные семестровые задания
- •Литература
Замена переменной в определенном интеграле
ЛИТЕРАТУРА [5], ч.1, гл.10,§ 7, п.3; [6] п. 20.1
Если
функция
непрерывна на отрезке
функция, непрерывная вместе со своей
производной
на отрезке
причем
определена и непрерывна на отрезке
то
Для преобразования подынтегрального выражения используются те же подстановки, что и для неопределенного интеграла.
Пример
1. Вычислить
интеграл
Решение.
Делаем замену
находим новые пределы интегрирования:
Пример
2. Вычислить
интеграл
Решение.
Делаем замену
тогда
находим новые пределы интегрирования:
Задачи:
Найти интегралы:
1). |
2).
|
3). |
4).
|
5). |
6).
|
7). |
8).
|
9). |
10). |
Интегрирование по частям
ЛИТЕРАТУРА: [5],ч.1, гл.10,§ 7,п.4; [6] п. 30.2
Если
функции
непрерывно дифференцируемы на отрезке
,
то
Пример
1.
Вычислить интеграл
.
Решение.
Пример
2. Вычислить
интеграл
Решение.
Задачи:
Найти интегралы:
1).
|
2).
|
3).
|
4).
|
5).
|
6).
|
7).
|
8).
|
Приложения определенного интеграла
ЛИТЕРАТУРА: [5] ч.1, гл.11; [6] § 32.
1. Площадь плоской фигуры. Прямоугольная система координат.
Если
непрерывная кривая задана в прямоугольной
системе координат уравнением
,
где
,
то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной этой кривой, двумя прямыми
и отрезком оси абсцисс
определяется формулой
В
более общем случае, если площадь S
ограничена двумя непрерывными кривыми
и двумя вертикальными линиями
при
то площадь вычисляется по формуле:
Если
кривая задана уравнением в параметрической
форме
то площадь криволинейной трапеции,
ограниченной этой кривой, двумя
вертикальными линиями
и отрезком оси ОХ,
выражается
интегралом
где
определяются из уравнений
Пример
1. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной параболами
Решение. Построим заданные линии.
(
кв. ед.).
Пример
2.
Найти площадь фигуры, ограниченной
одной аркой циклоиды
и осью абсцисс.
Решение. Построим область интегрирования.
Если
.
С учетом того, что
получим
Пример3.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
Решение. Построим область интегрирования и разобьем ее на подобласти. Тогда
Пример
4. Вычислить
площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение. Построим область интегрирования.
Площадь
полученной фигуры удобнее вычислять,
если рассматривать ее относительно оси
OY.
Пусть y
– независимая переменная. Уравнения
параболы и прямой запишем в виде
.
Тогда
2. Площадь плоской фигуры. Полярная система координат.
Если
непрерывная кривая задана в полярной
системе координат уравнением
то площадь сектора АОВ,
ограниченного
дугой кривой и двумя полярными радиусами
ОА и
ОВ,
соответствующими значениям
,
выразится интегралом
Пример
5.
Найти площадь фигуры, ограниченной
линией
(двухлепестковая роза).
Решение.
Придавая последовательно приращения
углу
построим график кривой.
С учетом симметричности фигуры искомая площадь равна
3. Длина дуги кривой.
а) В прямоугольной системе координат.
Длина
l
дуги гладкой кривой
содержащейся между двумя точками с
абсциссами
равна
б) Заданной параметрически.
Если
кривая задана параметрически уравнениями
,
где
непрерывно дифференцируемые функции,
то длина дуги l
кривой равна
где
значения
параметра, соответствующие концам дуги
в) В полярной системе координат.
Если гладкая кривая задана в полярной системе координат уравнением то длина дуги l равна
где
значения
полярного угла в крайних точках дуги
Пример
6.
Найти длину петли линии
Решение.
Приравнивая y
к нулю получим, что
С учетом того, что
получаем:
4. Объем тела вращения.
Объем
тел , образованных вращением криволинейной
трапеции, ограниченной кривой
осью OX
и двумя вертикальными прямыми
вокруг оси OX
и
OY,
выражаются формулами
Если кривая задана в иной форме (параметрически, в полярных координатах и т.д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.
В
более общем случае, объемы тел, образованных
вращением фигуры, ограниченной кривыми
и прямыми x
= a,
x
= b
вокруг координатных осей OX,
OY
соответственно равны:
Пример
7.
Фигура, ограниченная гиперболой
и прямой
вращается вокруг оси абсцисс. Найти
объем тела вращения.
Решение. Из чертежа и условия получаем
Объем
тела, полученного при вращении сектора,
ограниченного дугой кривой
и двумя полярными радиусами
вокруг полярной оси, может быть вычислен
по формуле:
5. Площадь поверхности вращения.
Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси OX дуги гладкой кривой заключенной между точками выражается формулой:
где
дифференциал дуги кривой.
Т.е.
Если
дуга задана параметрическими уравнениями
то
Если
дуга задана в полярных координатах
,
то
Пример
8.
Найти площадь поверхности, образованной
вращением вокруг оси OX
дуги кривой
Решение.
В силу симметрии фигуры