Показатели степени вариации

Показатели вариации используются для оценки рассеяния значений признака. К таким показателям относятся:

• размах вариации;

• среднее линейное отклонение;

• дисперсия;

• среднее квадратическое отклонение;

• коэффициент вариации.

Размах вариации

Размах вариации (R) используется для определения амплитуды:

где

x_max – наибольшее значение варьирующего признака;

x_min – наименьшее значение варьирующего признака.

Для того чтобы размах вариации не давал искажённую амплитуду, совокупность следует очистить от аномальных наблюдений. Например, для полученных значений

35,5; 42,6; 38,7; 887,3; 36,1; 32,9; 40,4; 37,6

значение 887,3 является аномальным, а амплитуда равна:

42,6 - 32,9 = 9,7

Среднее линейное отклонение

Среднее линейное отклонение (d) – это среднее арифметическое из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней величины.

Среднее линейное отклонение для несгруппированных данных:

Среднее линейное отклонение для сгруппированных данных:

где

x_i – значение признака в дискретном ряду или середина интервала в интервальном распределении;

m_i – частота признака;

n – количество вариантов.

Среднее линейное отклонение выражено в тех же единицах измерения, что и варианты.

Дисперсия

Для того чтобы избежать равенства нулю суммы отклонений от среднего, используют квадраты абсолютных значений. Такая мера вариации называется дисперсией (d или ²).

Дисперсия для несгруппированных данных:

Дисперсия для сгруппированных данных:

Существуют различные способы упрощения вычислений дисперсии. Одним из них является следующий:

Среднее квадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение () показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения. Среднее квадратическое отклонение измеряется в тех же единицах, что и варьирующий признак и вычисляется извлечением квадратного корня из дисперсии. Среднее квадратическое отклонение называется также нормированным или стандартизированным.

Среднее квадратическое отклонение для несгруппированных данных:

Среднее квадратическое отклонение для сгруппированных данных:

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации (V) даёт относительную оценку вариации. Он вычисляется путём сопоставления среднего линейного или среднего квадратического отклонения со средним уровнем явления:

Пример 19. Рассчитать показатели вариации для распределения сотрудников по тарифным разрядам.

Тарифный разряд	Число сотрудников, чел		( =4)
2	11	22	-2	22	44
3	18	54	-1	18	18
4	22	88	0	0	0
5	20	100	1	20	20
6	14	84	2	28	56
Итого	85	348		88	138

Среднее арифметическое:

Среднее линейное отклонение:

1,03

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

1,27

Коэффициент вариации:

или

31,12%

Пример 20. Рассчитать показатели вариации для распределения сотрудников по возрастным группам.

Возрастные группы сотрудников, лет	Число сотрудников, чел	Середина интервала, xiср		( =41)
20 - 30	11	25	275	-16	176	2816
30 - 40	33	35	1155	-6	198	1188
40 – 50	22	45	990	4	88	352
50 – 60	15	55	825	14	210	2940
60 - 70	4	65	260	24	96	2304
Итого	85		3505		768	9600

Среднее арифметическое:

Среднее линейное отклонение:

Дисперсия:	Коэффициент вариации:
Среднее квадратическое отклонение:	или
10,62 лет	25,77%