- •Часть I
- •1. Математическая логика
- •1.1.Булева алгебра
- •1.5. Системы и базисы булевых функций
- •2. Нормальные формы бф.
- •2.2 Совершенные нормальные формы.
- •2.3. Приведение к совершенным формам днф и кнф.
- •2.4. Сокращенные и тупиковые нормальные формы.
- •3. Методы минимизации булевых функций.
- •3.1. Метод Квайна – Мак-Класки
- •3.2. Минимизация по картам Карно-Вейча
- •3.3. Понятие интервала функции.
- •3.4. Слабоопределенные бф.
- •Этапы минимизации бф. Табл. 6
- •Контрольные вопросы и задания
3.3. Понятие интервала функции.
Представим БФ в виде гиперкуба, каждой вершине которого соответствует взаимнооднозначно входной двоичный набор. Все вершины упорядочены по ярусам. В i-й ярус входят вершины, с i-м количеством единиц в своих наборах. Вершины соединены ребром, если соответствующие двоичные наборы отличаются только одним разрядом (конъюнкции этих наборов могут быть склеены).
Вершины, образующие гиперкубы, кубы, грани, ребра или просто отдельные вершины, в которых , порождают единичные интервалы этой функции. Пример на рис. 7 для функции .
Вершины, образующие гиперкубы, кубы, грани, ребра или просто отдельные вершины, в которых , порождают нулевые интервалы этой функции.
3 ярус 1 111
110 011
2 ярус 1 0 101 0
100 001
1 ярус 1 1 010 0
0 ярус 1 000
Рис. 7. Функция в виде гиперкуба с единичными интервалами – гранью и ребром.
Единичный интервал Ia называется максимальным, если не найдется другого единичного интервала Ib, включающего в себя Ia.
Единичные интервалы:
, , , , , , , , , , .
Максимальные интервалы: и .
Конъюнкция, соответствующая максимальному единичному интервалу функции, является простой импликантой этой функции. Таким образом, выражение, составленное в виде дизъюнкции максимальных интервалов функции, будет его сокращенной ДНФ.
Переход от совершенной формы к сокращенной произошел путем попарного сравнения конституент соседних ярусов, что существенно сократило число сравнений (в отличие от количества сравнений по принципу «каждая с каждой», равному , где К – количество конституент).
3.4. Слабоопределенные бф.
Слабоопределенные или неполностью определенные БФ характеризуются следующими признаками:
число переменных n велико;
количество конституент 1 и 0 намного меньше
Так как для части входных наборов значения функции могут быть любыми, то при выполнении минимизации слабоопределенных функций сначала требуется их доопределение, причем такое, которое не противоречит цели минимизации – получению наиболее краткого (простого) выражения функции. То есть при минимизации слабоопределенных функций добавляется дополнительный этап – доопределение неопределенных состояний или мажорирования исходной функции.
Этапы минимизации бф. Табл. 6
Полностью определенные БФ |
Слабоопределенные БФ |
|
|
Покажем минимизацию слабоопределенной функции на примере, причем для наглядности выберем функцию от четырех переменных, чтобы проследить этапы минимизации по карте Карно-Вейча.
Дана
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|||
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
x3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
- |
- |
- |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
x2 |
|
|
1 |
- |
0 |
0 |
x2 |
|
|
1 |
1 |
0 |
0 |
x2 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
x1 |
|
- |
0 |
- |
- |
x1 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
x1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|||
|
|
- |
- |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|||
|
|
|
а) |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
в) |
|
Рис. 8. а) функция f с выделенными исходными единичными и нулевыми интервалами;
б) и в) варианты доопределения f в виде мажорирующих ее f’ и f”.
Получим сокращенную форму исходной функции любым, известным способом.
Получим сокращенную форму, состоящую из максимальных единичных интервалов за счет доопределения в 1 некоторых неопределенных состояний (доопределение в 1 всех неопределенных состояний может быть далеко не самым удачным вариантом как, например, в нашем случае), для чего используем таблицу различий.
В таблице различий строками являются единичные интервалы, а столбцами – нулевые интервалы исходной функции . Клетки таблицы заполняют последовательностями 1 и 0, полученными в результате поразрядного сложения по модулю 2 соответствующих разрядов строки и столбца:
Таблица различий. Табл. 7
Единичные интервалы |
Нулевые интервалы |
||
011_ |
1101 |
||
a b c d |
0 _ 0 0 |
0 0 1 0 |
1 0 0 1 |
a b c d |
1 0 1 _ |
1 1 0 0 |
0 1 1 0 |
Разряды единичных интервалов идентифицированы буквами a,b,c,d. Таблица различий позволяет определить, какие переменные исходной конъюнкции (исходного единичного интервала) войдут в мажорирующий (максимальный интервал): те, по которым есть различие в знаке разряда. Если оставить в мажорирующей конъюнкции соответствующий разряд, то в 1 определяются те неопределенные состояния, которые этому разряду соответствуют.
Единичный интервал 0_00 имеет различие с нулевым интервалом 011_ в разряде с. Для обеспечения непересечения доопределяемой области с нулевой обязательно будет присутствовать в мажорирующей конъюнкции. Единичный интервал 0_00 также имеет различие с нулевым интервалом 1101 в двух разрядах: a и d. Для обеспечения непересечения доопределяемой области с нулевой включим в мажорирующую конъюнкцию , либо . Иллюстрация на рис.
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
x2 |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
x2 |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
||
x1 |
|
|
0 |
|
|
x1 |
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||
а) доопределение в 1 области (или мажорирует ). |
б) доопределение в 1 области (или мажорирует ). |
Рис. 9. Мажорирование конъюнкции .
Итак, по единичному интервалу 0_00 получаем покрытие , то есть два варианта максимальных единичных интервалов: ,
По единичному интервалу 101_ получаем покрытие Так как покрытие короче, чем , то по интервалу 101_ выбираем только , то есть .
СДНФ мажорирующей функции: :
Определим все варианты тупиковых форм по импликантной таблице, где в качестве простых импликант будут максимальные единичные интервалы , а вместо конституент единицы – единичные интервалы функции (таблица 8).
Табл. 8
Иденти-фикаторы |
Максимальные единичные интервалы |
Единичные интервалы функции f. |
|
0 _ 0 0 |
1 0 1 _ |
||
a |
(0 _ 0 _) |
X |
|
b |
( _ _ 0 0) |
X |
|
c |
(_ 0 _ _) |
|
X |
Имеем покрытие П импликантной таблицы:
.
Тупиковых форм две (ac и bc):
.
4) Полученные тупиковые формы , мажорирующие , идентичны, так как имеют равную сложность и цену по Квайну и, следовательно, обе являются одновременно минимальными и кратчайшими.
На основании принципа двойственности все изложенные выше методы минимизации в классе ДНФ можно распространить и на класс КНФ. В таблице различий для определения покрытия нулевого интервала поменяем местами строки и столбцы. В импликантной таблице вместо простых импликант (максимальных единичных интервалов) строками станут простые имплиценты (максимальные нулевые интервалы), а столбцами конституенты нуля (нулевые интервалы) функции.
Задача 2. Для игрушки пирамиды, состоящей из 3-х колец различного диаметра, определить все возможные сочетания раскраски колец, если нижнее кольцо может быть раскрашено в фиолетовый, синий или зеленый цвет, среднее кольцо – в желтый, белый или голубой, а верхнее – только в красный.
Р ешение. Если известно, что III пирамида обязательно состоит из трех колец, то объединим три II обязательные части конструкции I функцией конъюнкция:
.
При этом каждая из частей имеет свою многовариантность раскраски , , Обобщенная структура раскраски будет представлять собой форму КНФ:
, а переход к форме ДНФ после раскрытия скобок покажет все возможные сочетания раскрасок:
Всего 9 вариантов.