Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
"Ижевский государственный технический университет"
Кафедра «ТРП»
Е.В. Королева
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ОСНОВЫ ЛОГИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»
Часть I
БУЛЕВА АЛГЕБРА
для студентов специальности 151001 и направлений 151000, 150900
И
жевск
2008
СОДЕРЖАНИЕ:
Введение 3
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 7
1.1.Булева алгебра 9
1.2.Доказательства равенства булевых функций 11
1.3.Основные законы булевой алгебры 12
1.4.О количестве двоичных наборов булевых функций и количестве булевых функций от n-переменных 13
1.5. Системы и базисы булевых функций 15
1.6. Критерий полноты систем булевых функций
Поста-Яблонского 16
2. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ БФ 20
2.1 Алгоритм приведения БФ к нормальным формам 22
2.2 Совершенные нормальные формы. Разложение Шеннона 23
2.3. Приведение к совершенным формам ДНФ и КНФ 24
2.4. Сокращенные и тупиковые нормальные формы 24
3. МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 28
3.1. Метод Квайна – Мак-Класки 28
3.2. Минимизация по картам Карно-Вейча 29
3.3. Понятие интервала функции 33
3.4. Слабоопределенные БФ 35
Контрольные вопросы 39
Список литературы 40
ВВЕДЕНИЕ
Наука об управлении - кибернетика – это наука об общих законах представления, хранения, передачи и обработки информации. История этой науки насчитывает всего несколько десятилетий (с 1948 года, когда была выпущена в свет книга американского ученого Норберта Винера «Кибернетика или управление и связь в животном и машине»), а вклад в ее развитие и становление внесли сотни талантливых ученых мира, среди которых ее основатель Н. Винер, выдающиеся советские ученые А.И. Берг, В.М. Глушков, А.А. Ляпунов.
Наиболее коротко кибернетику можно определить как науку об управлении (которое и является предметом ее изучения) в различных системах любой физической природы. Но, в отличие от многих других наук, также изучающих управление, кибернетика рассматривает его в математическом и физическом аспектах.
В период второй мировой войны, Н. Винер участвовал в работе над проектом правительства США по проблеме управления зенитным огнем. Эти работы завершились созданием нового оружия с радиолокационным наведением. В основу этой работы был положен принцип обратной связи (отрицательной и прямой), который заключался в использовании информации, поступающей из окружающего мира для изменения поведения машины. Винер показал, что именно благодаря обратной связи все живое приспосабливается к окружающей среде и взаимодействует с ней, то есть, в конечном счете, обучается. Для него было абсолютно ясно, что многие концептуальные схемы, определяющие поведение живых организмов при реакции на ситуацию должны быть аналогичны схемам управления в сложных технических системах, что социальные и экономические модели управления могут быть проанализированы с помощью тех же логико-математических аппаратов, которые разработаны для управления техническими системами.
Именно эти идеи показались крамольными в бывшем СССР. В силу существовавшей тогда идеологической доктрины, кибернетика в 50-х годах ХХ века была воспринята как наука, противоречащая основным принципам марксизма-ленинизма, например несводимости «высших» форм существования к «низшим», формализме (формальная логика), а, следовательно, идеализме, проникающем в общественное сознание через математику. Однако, идеи кибернетики нашли отклик у авторитетных ученых, таких, как А.И.Китов – один из первых отечественных специалистов по применению вычислительных машин в военной области, А.А.Ляпунов – выдающийся математик, С.Л.Соболев – математик, занимавшийся теорией создания атомной бомбы. Уже к концу 50-х советская наука получила ряд результатов, стоящих на уровне мировых достижений:
Была разработана теория логического анализа и синтеза релейно-контактных и функциональных схем, где аппарат математической логики был использован в области технических наук. Возникли две научные школы О.Б.Лупанова и С.В. Яблонского, занимавшиеся теорией дискретных управляющих устройств и методов инженерного проектирования устройств такого типа (в т.ч. схем, узлов, устройств вычислительной техники);
А.А. Ляпунов предложил операторный метод для описания программ, который позволил создать теорию синтаксических структур программ;
А.А. Ляпуновым была сформулирована постановка задачи автоматизации программирования, воплощенная в первых отечественных трансляторах;
М.Л. Цетлин впервые рассмотрел возможности моделирования с помощью простейших технических средств сложных форм поведения, что послужило началом создания теории коллективного поведения технических систем, намного опередившей аналогичные исследования в других странах.
Кроме перечисленных выше имен, следует особо назвать В.М. Глушкова, автора методов логического синтеза цифровых автоматов, выдающегося математика А.А. Маркова и А.И. Берга, выдающегося организатора науки, занимавшего пост заместителя министра обороны СССР по радиоэлектронике в 1953-1957 годах. Этим перечнем, безусловно, не исчерпывается список выдающихся ученых, внесших значительный вклад в формирование современных знаний.
Винер разработал теории машинного и человеческого разума, опираясь на идею обратной связи, которая сразу же стала объединяющей в исследованиях представителей различных наук.
Кибернетика (с греческого – «рулевой») в свое время очертила круг задач по проблемам управления и связи, решение которых не представлялось возможным в рамках ни одной из существующих наук. Такие задачи могли возникнуть в физике, математике, философии, социологии, психологии, вычислительной технике, электротехнике и т.д., то есть принадлежать одной конкретной науке, а вот решение представлялось возможным лишь на стыке наук. Подобные задачи Винер называл кибернетическими, а их общие специфические свойства (управление, связь) по сути, и являются кибернетикой.
Существуют такие общенаучные категории как «энергия» и «информация». Понятие «управление» перешло в общенаучную категорию не так давно, когда определилась его сущность:
движение или действие больших масс, передача, преобразование больших количеств энергии направляются и контролируются при помощи небольших количеств энергии, несущих информацию.
Такое определение справедливо для любых объектов, где есть управление – компьютер, социальное общество, живой организм и т.д.
По сложившейся к настоящему времени традиции, понятие «кибернетической управляющей системы» более узко, в сравнении с понятием просто «управляющей системы» к которым могут принадлежать объекты по традиции и по существу не относящиеся к кибернетическим: автомобильный карбюратор в системе подачи топлива регулирует впрыск топлива, температурное реле и т.д.
Для определения понятия кибернетической системы выделяют три признака:
дискретность;
сложность;
многозначность представлений.
По определению Ляпунова, кибернетика – это «наука об общих закономерностях строения управляющих систем и течения процессов управления» и, следовательно, связана с вопросами кодирования, хранения, передачи, переработки, воспроизведения информации и устройствами для осуществления этих функций.
Наукообразующим вопросом для кибернетики, по Ляпунову, является вопрос о взаимоотношении мышления и возможностей вычислительной машины. Сами же мышление и вычислительная машина представляют собой примеры управляющих систем крайних типов: неформализованной и строго формализованной. Вопрос считается изученным, если функционирование управляющей системы полностью формализовано и может быть смоделировано в универсальной вычислительной машине. Этим и занимается математическая кибернетика – синтезом алгоритмов, разработкой способов их описания и оценки производительности, принципами их материальной реализации. Кроме того, существуют «экспериментальные» методы исследования - наблюдение, статистический анализ, логический анализ, машинный эксперимент. Все эти методы (математические и «экспериментальные») применяются при решении задач основных направлений кибернетики:
системы сигналов управления и обратной связи – языки и способы кодирования информации;
процессы переработки информации;
методы анализа и синтеза управляющих систем;
помехоустойчивость в процессах управления.
Как сказано выше, кибернетика возникла на стыке многих наук как средство решения возникающих в них вопросов, среди которых самым главным, глобальным, можно считать вопрос о механизме процесса мышления в теоретическом и практическом смысле – могут ли машины «мыслить», можно ли создать искусственный интеллект? Размышление над ними ставит новые вопросы: что такое мышление, оно присуще только человеку и живым организмам, или машине в том числе, что такое процесс обучения и могут ли машины обучаться.
Совокупность научных направлений, относящихся к кибернетике, именуют, кроме того, «компьютерными науками», «информатикой», «прикладной математикой» в силу исторически сложившихся традиций. К настоящему времени основными областями исследований кибернетики (или информатики) считают следующие:
теория алгоритмов (формальные модели алгоритмов, проблемы вычислимости, сложность вычислений и т.д.)
логические модели (дедуктивные системы, сложность вывода, нетрадиционные исчисления: индуктивный и абдуктивный вывод, вывод по аналогии, правдоподобный вывод, немонотонные рассуждения и т.п.)
искусственный интеллект (представление знаний, вывод на знаниях, обучающиеся, экспертные системы и т.п.)
бионика (математические модели в биологии, бихевиористические (поведенческие) модели, генетические системы и т.п.)
теория роботов (автономные роботы, представление знаний о мире, децентрализованное управление, планирование целесообразного поведения и т.п.)
компьютерная лингвистика (модели языка, анализ и синтез текстов, машинный перевод и т.п.)
системы человеко-машинного взаимодействия (модели дискурса, распределение работ в смешанных системах, организация коллективнах процедур, деятельность в телекоммуникационных системах и т.п.)
нейроматематика и нейросистемы (теория формальных нейронных сетей, использование нейронных сетей для обучения, нейрокомпьютеры и т.п.)
Эти научные направления возникли не одновременно, а по мере накопления моделей, методов их применения на задачах различных типов, развития компьютеров.
В предлагаемом читателю учебном пособии из всех вопросов кибернетики рассматриваются основы логического управления: математическая логика, теория множеств, теория графов.