Дослідження функцій на монотонність.

Кусково-монотонна функція. Зростання (спадання) складеної функції. Дослідження функції на монотонність за допомогою першої похідної. Розв’язування рівнянь і нерівностей на основі використання властивості монотонності функції.

Запитання для самоконтролю.

1. Дайте означення зростаючої та спадної на множині функції.

2. Сформулюйте достатні умови зростання (спадання) функції.

3. Сформулюйте і обґрунтуйте умову сталості функції на інтервалі.

4. Сформулюйте необхідну умову екстремуму функції.

5. Охарактеризуйте схему дослідження функції на монотонність та екстремум.

Завдання.

17.Знайти інтервали зростання (спадання) функції.

1) ;	12) ;	23) ;	34) ;
2) ;	13) ;	24) ;	35) ;
3) ;	14) ;	25) ;	36) .
4) ;	15) ;	26) ;	37) ;
5) ;	16) ;	27) ;	38) ;
6) ;	17) ;	28) ;	39) ;
7*) ;	18) ;	29) ;	40) ;
8) ;	19) ;	30) ;	41*) ;
9) ;	20) ;	31) ;	42) ;
10) ;	21) ;	32) ;	43*)
11) ;	22) ;	33)	44*)

18. Дослідити функцію на екстремуми за допомогою другої похідної.

1) ;	4) ;	7) ;
2) ;	5) ;	8) ;
3)	6) ;	9) .

19.Знайти екстремуми функції.

1) ;	2) ;	3) ;	4) ;
5) ;	6) ;	7) ;	8) .

20.Знайти інтервали монотонності та екстремуми функції.

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6*) .

Дослідження функцій на опуклість.

Поняття опуклості кривої вгору (вниз). Поняття про похідні вищих порядків. Встановленя напряму опуклості кривої за допомогою другої похідної.

Запитання для самоконтролю.

1. Яка функція називається опуклою вгору ? опуклою вниз ?

2. Які точки називають точкою перегину графіка функції?

3. Сформулюйте достатні умови опуклості вгору (вниз)?

4. Сформулюйте правило знаходженя точок перегину функції, що має другу похідну на заданому інтервалі.

5. Охарактеризуйте схему дослідження функції для побудови її графіка.

Завдання.

21.Знайти точки перегину та інтервали опуклості графіка функції.

1) ;	6) ;	11*) ;	16) ;
2) ;	7*) ;	12) ;	17) ;
3) ;	8) ;	13) ;	18) ;
4) ;	9) ;	14) ;	19) ;
5) ;	10) ;	15) ;	20)

22.Знайти функцій.

1) ;	2) ;	3) ;	4) ;	5) ;
6) ;	7) ;	8) .	9)	10)

23.Провести повне дослідження функції і побудувати її графік.

1) ;	7) ;	13) ;
2) ;	8) ;	14) ;
3) ;	9) ;	15*) ;
4) ;	10) ;	16) ;
5) ;	11) ;	17) ;
6) ;	12) ;	18) ;
19) ;	23) ;	27*) ;
20) ;	24) ;	28) ;
21) ;	25) ;	29*) ;
22*) ;	26*) ;	30) .

24.Знайти диференціал наступних функцій.

ї

1) ;	5) ;	9) ;	13) ;	17*) ;
2) ;	6) ;	10) ;	14) ;	18*) ;
3) ;	7) ;	11) ;	15) ;	19*) ;
4)	8) ;	12) ;	16) ;	20)

25.Складіть і розв’яжіть рівняння:

1) , якщо ;

2) , якщо .

26.Складіть і розв’яжіть нерівність:

1) , якщо ; 2) , якщо ; 3) , якщо ; 4) , якщо .

27^*.Визначте, при яких значеннях параметра а функція на кожному

з проміжків області визначення функції є:

1) строго спадною, якщо ;

2) строго зростаючою, якщо .

28^*.Визначте, при яких значеннях параметра а функція зростає на R.

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;

5) .

29^*.Визначте, при яких значеннях параметра а функція

спадає на R.

30^*.Визначте, скільки критичних точок має функція на проміжку

, , якщо:

1) ;

2) ?

31^*.Визначте, при яких значеннях параметра а функція :

1) має додатну точку мінімуму;

2) має від’ємну точку максимуму?

32^*.Знайти точку мінімуму функції .

33^*.Знайти точку максимуму функції .

33^*.Визначте, при яких значеннях параметра а, при якому точка х₀ буде

точкою перегину кривої , якщо:

1) , ;

2) , .

34^*.Визначте всі значення параметра а, при яких область значення функції збігається з областю значення її похідної, якщо:

1) ; 2)

35^*.Дано функцію і додатні числа a i b. Порівняти α з нулем

і одиницею, якщо:

1) , ;

2) , .