5.2. Аналитические способы проектирования границ земельных участков

При разделе земельного участка обычно ставят условия, касающиеся определения положения на местности линий раздела. Одновременно могут быть сформулированы также требования к размеру площади отдельных частей разделяемой территории. В этом и в других случаях землеустроительные действия, как правило, включают в себя техническое проектирование, одним из этапов которого - так называемое «геометрическое проектирование границ земельных участков».

Основой для геометрического проектирования, являющегося преимущественно аналитическим, может служить техническое задание, включающее в себя эскизный проект пространственного размещения вновь создаваемых земельных участков, требования к направлению отдельных звеньев их границ, а также к размеру площади земельных участков и их отдельных частей. При составлении эскизных проектов опираются на требования земельного законодательства, а также на сведения государственного земельного кадастра о преобразуемой территории, хранящиеся в виде: дежурных кадастровых карт, планов границ земельного участка и кадастровых планов земельных участков, каталогов координат поворотных точек границ земельных участков и др.

Необходимые исходные данные также получают в процессе межевой съемки земельного участка (см. разд. 6.8) или путем соответствующих измерений по топографическим картам и планам. При выборе конкретного способа получения исходных данных и методов проектирования следует исходить из требований к точности определения положения граничных точек земельных участков, установленных действующими инструктивно-нормативными документами.

Сущность аналитического проектирования границ земельных участков заключается в определении цифровых данных, которые с заданной точностью геометрически соответствуют эскизному проекту пространственного размещения объекта проектирования. В дальнейшем, с учетом этих данных, составляют проект выноса в натуру (разбивочный чертеж) вновь образованных границ земельных участков. В зависимости от заданных геометрических условий проектирования границ земельных участков наиболее часто встречающиеся на практике задачи можно разделить на две группы. К первой группе задач относятся такие, в которых в качестве одного из условий проектирования поставлено требование, чтобы площадь вновь образуемого участка или его части была бы равна заданному значению. Такие задачи в дальнейшем будем называть «Проектирование земельных участков заданной площади».

В задачах второй группы, в отличие от первой, каких-либо требований к размеру площади проектируемого земельного участка или его части не ставили, кроме условия, чтобы эта площадь должна быть больше минимально допустимого значения, установленного земельным законодательством. В качестве основных геометрических условий проектирования в этом случае выступают требования к положению характерных точек границы, прежде всего поворотных, направлению отдельных звеньев проектируемой границы и т. п.

При проектировании используют формулы геометрии на плоскости, а вычисленные площади земельного участка или их частей выражают в квадратных метрах или гектарах. Исходными данными при проектировании служат геометрические размеры (длины линий и внутренние углы) фигур, образованных линией границы. На практике встречаются случаи, когда эти данные частично или полностью отсутствуют, однако известны плоские прямоугольные координаты поворотных точек границы участка. В этом случае внутренние горизонтальные углы находят как разность дирекционных углов соответствующих направлений, исходящих из ее поворотной точки.

При аналитическом (геометрическом) проектировании земельных участков широко используют математический аппарат аналитической геометрии. Его применение дает возможность получить для расчетов универсальные формулы и создать на их основе необходимое программное обеспечение. Заметим, что при решении задач плоские прямоугольные координаты всех используемых при проектировании точек должны быть заданы в единой для них системе координат.

Ниже приведены примеры аналитического проектирования, к которым можно свести большинство встречающихся на практике

задач.

Задача 1. Проектирование треугольником

Дано. Плоские прямоугольные координаты межевых знаков существующего земельного участка.

Требуется. Запроектировать земельный участок 1, 2, А площадью Р_ПР внутри существующего, чтобы граница вновь образуемого земельного участка проходила через межевой знак 2 (рис. 6.1, а).

Решение. Оно сводится к определению плоских прямоугольных проектных координат точки А по формулам прямой геодезической задачи, т. е.

X_A = X₁ + acos α₁₈; Y_A = Y₁ + asin α₁₈

Неизвестный отрезок а, определяющий положение проектной точки А на стороне 81 границы существующего участка, вычисляют по формуле:

Горизонтальный угол (3 найдем как разность двух дирекционных углов

Отметим, что дирекционные углы направлений 18 и 12 (см. рис. 6.1) определяют, решая соответствующие обратные геодезические задачи.

Для контроля следует:

решить треугольник 12А по теореме косинусов и определить сторону 2А по формуле

вычислить площадь треугольника I2A, используя равенство

где р - полупериметр треугольника.

а – треугольником; б – трапецией; в – четырехугольником

Совпадение заданной Р_ПР и вычисленной Р_ВЫЧ по результатам проектирования значений площадей укажет на то, что соответствующие вычисления выполнены правильно. Другой способ контроля заключается в вычислении площади Р_ПР по координатам точек вершин вновь образованного земельного участка, т. е. треугольника 12А, и сравнении ее, как было сделано раньше, с проектной площадью Р_ПР

Пример. Плоские прямоугольные координаты межевых знаков приведены в таблице.

Таблица

Номер точки	Координата, м
	X	Y
1	5356,41	-5457,84
2	5145,11	-5479,87
8	5241,02	-5684,37

Проектная площадь: Р_ПР = 15000м2. Найти проектные координаты X_A и Y_A

Решая соответствующие обратные геодезические задачи, получим:

Тогда угол β = 57°03'16", а сторона а = 168,27 м. Координаты проектной точки А составили: Х_А- 5280,03 м, Y_A = -5607,78м. Контроль проектирования: P_ВЬ1Ч = 15000м2.

Задача 2. Проектирование трапецией

Дано. Плоские прямоугольные координаты (X, Y) межевых знаков 1,2,3,4 существующего земельного участка (показаны на рисунке 6.1, б).

Требуется. Запроектировать земельный участок площадью Р_ПР линией, параллельной существующей стороне 12.

Решение. При проектировании трапецией имеют в виду следующее.

Известно, что

где а и b - основания трапеции, h - ее высота.

В то же время из данных рисунка 6.2 следует, что

Отсюда высоту проектируемого участка можно представить в виде

С учетом этой формулы проектная площадь земельного участка

или

Из данной формулы после несложных преобразований найдем искомую сторону проектируемого земельного участка

При этом неизвестные горизонтальные углы λ и β определим как разность дирекционных углов соответствующих направлений (см. решение предыдущей задачи). Затем получим формулы для вычисления боковых сторон проектируемого земельного участка (см. рис. 6.2):

Используя полученные значения этих боковых сторон, решают прямые геодезические задачи по соответствующим направлениям от межевых знаков 1 и 2 и тем самым определяют проектные координаты Х_А и Y_А поворотных точек А и В проектируемой границы. Контроль решения задачи сводится к нахождению площади Р_ВЫЧ земельного участка 1,2,АВ по вычисленным проектным координатам поворотных точек его границы. При этом равенство проектной Р_ПР и вычисленной Р_ВЫЧ площадей земельного участка укажет на то, что проектирование земельного участка выполнено правильно.

Пример. Плоские прямоугольные координаты межевых знаков приведены в таблице.

Таблица

Номер точки	Координата, м
	X	Y
1	4439,07	2763,71
2	4409,06	2561,78
3	4661,60	2604,55
4	4627,27	2834,80

Проектная площадь: Р_ПР = 2000 га. Найти проектные координаты Х_А и Y_A.

Решая соответствующие обратные геодезические задачи, получим:

Тогда угол λ = 71º56′04", а угол β = 119º08′37" и стороны b = 215,18 м, c = 97,76 м, d = 106,42 м. Вычисленные плоские прямоугольные координаты проектных точек A и B приведены в таблице.

Таблица

Номер проектной точки	Координата, м
	X	Y
A	4505,45	2578,10
B	4538,62	2801,32

Контроль проектирования: P_ВЫЧ = 2000 га.

Задача 3. Проектирование четырехугольником

Дано. Плоские прямоугольные координаты X_i и Y_i межевых знаков существующего земельного участка (i = 1, 2,...N).

Требуется. В соответствии с заданием на межевание земельного участка провести линию раздела MN (рис. 6.1, в) через межевой знак 4 существующей границы, чтобы площадь проектируемого земельного участка А234 была равна Р_ПР.

Решение. Решение задачи сводится:

к определению расстояния а (рис. 6.1, в), по формуле

к вычислению плоских прямоугольных координат нового межевого знака А и контролю проектирования по правилам, изложенным при решении предыдущих задач.

Пример. Плоские прямоугольные координаты межевых знаков приведены в таблице.

Таблица

Межевой знак	Координата, м
	X	Y
1	4339,07	2863,71
2	4409,06	2561,78
3	4505,45	2678,10
4	4549,47	2784,21

Проектная площадь: Р_ПР = 28000 м². Вычислить проектные координаты X_A и Y_A.

Решая соответствующие обратные геодезические задачи, получим:

Тогда угол λ = 162°53'03" , угол β = 52°4Г54" и сторона а = 272,13 м. Плоские прямоугольные координаты проектной точки А: Х_А = 4347,61 м, Y_A = 2826,88м.

Контроль проектирования: P_ВЫЧ = 28000м2.

Задача 4. Определение местоположения точек на границе земельного участка, полученных в результате ее пересечения с осью проектируемой трассы линейного сооружения.

Дано. Плоские прямоугольные координаты X, Y межевых знаков А, В, С и D существующего земельного участка (рис. 6.2) и концов отрезка оси трасс - точек M и N.

Требуется. Определить:

1. Координаты точек 1 и 2 пересечения граничных линий с осью проектируемой трассы MN.

2. Расстояния с и d, а также площадь вновь образованного земельного участка 1В2.

Решение. В начале рассмотрим решение задачи в общем виде.

Уравнение прямой, заданной двумя точками (первой с координатами Х₁, Y₁ и второй Х₂, Y₂, записывают в виде

Допустим, что вторая прямая также задана двумя точками с координатами: Х₃, Y₃, Х₄, Y₄, и соответствующими им значениями параметров А₂, В₂ и С₂.

Тогда координаты (X, Y) точки пересечения двух этих прямых будут:

Применяя данные формулы к решаемой задаче по определению проектных координат Х₁ и Y₁ точки 1 (см. рис. 6.4), имеем:

Координаты точки пересечения оси трассы MN с граничной линией СВ вычисляют аналогично т. е.

A₁ = Y_N - Y_M;

B₁ = X_M – X_N

C₁ = Y_M (X_N - X_M) - X_M (Y_N - Y_M).

A₂ = Y_B – Y_C;

B₂ = X_C – X_B

C₂ = Y_C (X_B – X_C) – X_C (Y_B – Y_C).

Определив описанным способом координаты точек 1 и 2, из решения соответствующих обратных геодезических задач находят отрезки с и d. Затем по координатам точек 1, В и 2 нового земельного участка вычисляют его площадь по одной из формул, которые приводили ранее.

Пример. Плоские прямоугольные координаты межевых знаков и точек трассы М и N приведены в таблице.

Таблица

Номер точки	Координата, м
	X	Y
A	4339,07	2863,71
B	4409,06	2561,78
C	4505,45	2678,10
M	4710,86	1103,08
N	6020,18	2000,31

Вычислить координаты проектных точек 1 и 2 и площадь вновь образованного участка 1B2.

По соответствующим вышеприведенным формулам были получены проектные координаты точек пересечения трассы с границей земельного участка:

Х₁ = 5728,83 м, Y₁ = 5535,34 м; Х₂= 1526,34м , Y₂= 1668,07 м.

Горизонтальные проложения от поворотной точки В границы земельного участка до точек 1 и 2 соответственно равны: S_B1 = 471,37 м, S_B2 = 239,85 м.

Проектная площадь вновь образованного земельного участка 1В2:

Р_ПР = 37790 м².

З адача 5. Деление земельного участка из точки, расположенной внутри его территории

Дано. Плоские прямоугольные координаты (X, Y) межевых знаков А, В, С и D (рис. 6.3), а также точки E, расположенной внутри территории земельного участка.

Требуется. Путем размежевания (раздела) существующего земельного участка ABCD (рис. 6.3) выделить два участка ABNEM и MENCD таким образом, чтобы новая линия раздела проходила бы через точку Е (Х_Е, Y_E), расположенную внутри территории разделяемого участка. При этом линия EN должна быть перпендикулярна стороне земельного участка ВС, а ЕМ - стороне AD.

Решение. В данном случае цель проектирования - определение плоских прямоугольных координат граничных точек N и М.

Задачу решают в такой последовательности:

1. По координатам межевых знаков В и С из решения обратной геодезической задачи определяют дирекционный угол α_ВС линии ВС

2. Исходя из задания определяют дирекционный угол направления с точки Е на точку N: α_EN = α_ВС - 90°.

3. Используя в качестве исходных координат точек B (X_B, Y_B) и E (X_E, Y_E), а так же дирекционные углы α_ВС и α_EN соответствующих направлений, вычислим по формулам прямой угловой засечки координаты X_N, Y_N проектной точки N. Получим

Контроль

4. Аналогично определяют координаты вновь образованной граничной точки М (рис. 6.3).

5. Используя известные плоские прямоугольные координаты точки В и вычисленные их значения для точек 1 и 2, вычисляют площади каждого из вновь образованных участков.

Пример. Плоские прямоугольные координаты межевых знаков и точки Е приведены в таблице 1. Площадь существующего земельного участка ABCD: P_ABCD = 112,317 га. Выполняют размежевание этого участка в соответствии с условиями, названными в начале задачи 5.

Таблица 1

Номер точки	Координата, м
	X	Y
A	4509,63	1403,26
B	5728,83	1526,34
C	6020,18	2000,31
D	4304,63	2446,26
E	4793,42	2183,02

Решая соответствующие обратные геодезические задачи, получим следующие значения дирекционных углов отдельных звеньев границы:

α_ВС = 58°25'15" и α_AD = 100°44'56",

а также проектных линий

α_EN =328°25'15" и α_EM = 190°44'56".

Из решения прямых угловых засечек получим координаты проектных точек (табл. 2).

Таблица 2

Номер проектной точки	Координата, м
	X	Y
N	5765,27	1585,62
M	4369,86	2102,61

Площади вновь образованных земельных участков составили:

P_ABNEM = 65,331 га, P_MENCD = 46,986 га. Контроль проектирования: сумма площадей вновь образованных земельных участков равна площади земельного участка ABCD, т. е.

65,331 + 46,986 = 112,317 га.

По результатам аналитического проектирования составляют разбивочный чертеж в удобном для работы масштабе с отображением существующих и проектных границ земельного участка, положения межевых знаков, пунктов опорной межевой сети и иной геодезической основы, надежно опознаваемых контурных точек, угловых и линейных данных для геодезических измерений, кадастровых номеров. На разбивочном чертеже все проектные элементы показывают красным цветом (см. разд. 4.5).