1.8 Токи в полупроводниках.

1. Дрейфовый ток.

-

2.Диффузионный ток.

Аналогично тому, как причиной дрейфа является градиент потенциала grad()=d/dx=E, так причиной диффузии является градиент концентрации dn/dx

Диффузия – направленное движение частиц из области с большей концентрацией в область с меньшей концентрацией (самопроизвольное выравнивание концентраций вещества).

Изотропный процесс диффузии для кубической решетки подчиняется первому закону Фика (нем. А. Fick, 1855 г.)

J = Dn, (1.26)

где J – плотность потока диффундирующих частиц, измеряемая колличеством частиц, проходящих через S=1см² за t=1c,

D- коэффициент диффузии – (площадь/единица времени)

n- концентрация диффундирующих частиц,

 оператор градиента.

Диффцзия происходит в направлении убывания концентрации.

Положительные направления веторов градиентов dn/dx, dp/dx, диффузионных скоростей V_nДИФ и V_{р ДИФ} и диффузионных токов для неоднородного полупроводника показаны на рисунке.

n(x)

n(x)

dn/dx

jn диф

Vn диф

X [см]

Плотность диффузии для одномерного случая пропорциональна градиенту концентрации

j_nдиф=  eD_ndn/dx= qD_ndn/dx, (1.27)

j_pдиф= qD_pdp/dx, (1.28)

где D_n, D_p [см²/c] – коэффициенты диффузии для электронов и дырок.

Коэффициенты диффузии электронов D_n и дырок D_р в основных полупроводниках:

	Ge	Si	GaAs	InSb
Dn [см2/с]	100	36	300	1500
Dр [см2/с]	45	13	12	17

Коэффициенты диффузии выполняют роль коэффициентов пропорциональности для вызывающего диффузию градиента концентраций, аналогично тому, как подвижности являются коэффициентами пропорциональности для градиента потенциала – напряженности электрического поля.

Диффузия – важнейший для работы полупроводниковых приборов процесс. В общем случае плотность тока в неоднородном полупроводнике

j= j_{n др}+ j_{p др}+ j_nдиф +j_pдиф = qn_nЕ + qp_pЕ+qD_ndn/dx qD_pdp/dx. (1.29)

Коэффициенты диффузии и подвижности связаны формулой Энштейна

D_n=_n_T, D_p=_p_T. (1.30)

1.9 Стационарное уравнение диффузии. Ток диффузии. Ток рекомбинации.

В основе анализа полупроводниковых приборов лежит решение стационарного уравнения диффузии, являющегося следствием уравнения непрерывности потока (ток=потокзаряд). Для электронов уравнение непрерывности потока имеет вид

(1.31)

dn/dt – скорость изменения неравновесной концентрации электронов,

G – скорость увеличения концентрации электронов за счет термогенерации,

(n-n₀)/_n – скорость уменьшения концентрации электронов за счет рекомбинации,

n₀ – равновесная концентрация электронов,

_n – среднее время жизни электронов,

q – элементарный заряд,

div(j_n) – дивиргенция плотности электронного тока – величина изменения.

Дивергенция (производная по координате) учитывает разность между приходом электронов в элементарный объем извне (втекающий ток) и уходом электронов из объема – вытекающий ток. Аналог – первый закон Кирхгофа – I=0, I(x)=const, dI/dx=0, div(I)=0.

В стационарном режиме dn/dt=0. Пренебрегаем термогенерацией, учитываем ток j_n= j_nдиф (1.27) и в одномерной модели (div(j_n)=dj_n/dx) получим стационарное уравнение диффузии. В этом уравнении учитываются только рекомбинация и диффузия.

(1.32)

Пусть на границе полупроводника р-типа с равновесными концентрациями p₀ и n₀p₀ подерживается граничная концентрация n(0)n₀ и избыточная граничная концентрация n(0)= n(0)n₀.

При n(0)n₀ в приграничном слое поддерживается неравномерность концентраций, вследствие чего:

1. электроны диффундируют в полупроводник,

2. концентрация электронов вследствие рекомбинации уменьшаеется от граничной n(0) до равновесной n₀.

Решение стационарного уравнения диффузии (1.32), которое собственно и учитывает эти два процесса, позволяет получить зависимость концентрации электронов от координаты n=n(x).

Переходим в уравнении (1.32) от полной концентрации n к избыточной n=nn₀, учтем, что d²n/dx²= d²n/dx², и введем параметр

. (1.33)

(1.34)

Линейное однородное уравнение второго порядка имеет характеристическое уравнение к²1/L_n²=0 с корнями к_1,2 = 1/L_n и, следовательно, общее решение

n=n(x)=C₁e^X/Ln+ C₂e^X/Ln

Из граничных условий определим коэффициенты

n()=0  C₁=0, n(0)= C₂.

Распределение избыточной концентрации по координате

n(x)= n(0)e^X/Ln. (1.35)

Распределение полной концентрации по координате

n(x)= n(x)+n₀= n(0)e^X/Ln+n₀. (1.36)

L_n [см] - диффузионная длина- аналог длины свободного пробега в молекулярно –кинетической теории газов. Физический смысл диффузионной длины – на расстоянии L_n неравновесная (избыточная) концентрация уменьшается в е раз. На глубине 3L_n вследствие рекомбинации электронов с дырками избыточная концентрация уменьшается по сравнению с граничной в е³20 раз и практически равна нулю, а полная концентрация равна равновесной n₀. { -расстояние=скорость (аналог D_n)время(аналог _n)}.

Так как электроны имеют экспоненциальное распределение по энергиям (скоростям), то и глубина их проникновения (диффузии) в р-слой за время жизни подчиняется экспоненциально-затухающему закону.

В приграничном слое шириной ≈ 3L_n за счёт рекомбинации с диффундирующими от поверхности электронами концентрация дырок уменьшается. Для поддержания постоянной скорости рекомбинации возникает встречное диффузионное движение дырок или ток рекомбинации.

Зная распределение n(x), можно найти диффузионный ток (1.27):

(1.36)

(1.37)

j(х)

j=const

j_{Р РЕК.}

j_n(0)

j_n(х)

X

0

В соответствии с экспоненциальным уменьшением концентрации n(x), уменьшается и электронный ток диффузии от граничного значения j_n(0) до нуля при x3L_n. Знак минус показывает, что ток направлен из полупроводника к поверхности.

По всему сечею кристалла ток остается постоянным. Электронный ток в слое 3L_n постепенно (за счет рекомбинации) трансформируется в дырочный ток рекомбинации. В глубине полупроводника р-типа при р₀n₀ ток почти полностью дырочный.