Лекции по гетеропереходам / курс лекций физика и технология полупроводниковых наноструктур / 03_плотность состояний

Объем ωk пространства волновых векторов, приходящийся на одно разрешенное состояние k – объем параллелепипеда с гранями (bi/Ni):

ωk = b1/N1 • (b2/N2 × b3/N3) = (1/N) b1 • (b2 × b3)

объем примитивной ячейки обратной решетки b1 • (b2 × b3) = (2π)3/v где v=V/N – объем примитивной ячейки прямой решетки

Другими словами, число разрешенных волновых векторов в примитивной ячейке обратной решетки равно числу ячеек в кристалле.

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 11

Объем k-пространства, приходящийся на одно разрешенное состояние k

ωk = (2π)3/V

Следовательно, область k-пространства произвольной формы объемом Ωk

будет содержать Ωk/ωk = ΩkV/(2π)3 разрешенных значений волнового вектора.

Для простоты рассмотрим изотропный объемный кристалл. Сфера радиуса k имеет объем Ωk=(4/3)πk3 и содержит (4/3)πk3V/(2π)3 разрешенных значений волнового вектора. Следовательно, число разрешенных электронных состояний

N=2×V(4/3)π(k/2π)3

(2 учитывает вырождение по спину)

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 12

Число электронных состояний в слое dk вблизи k: dN=8π V k2/(2π)3 dk=4 V k2/(2π)2 dk

ФПС может быть вычислена, если известно соотношение между энергией и волновым вектором электронов в кристалле (дисперсионное соотношение). Дисперсия зависит от химической природы кристаллической матрицы, кристаллической структуры и многих других параметров. Однако, основной интерес представляют состояния, находящиеся вблизи экстремумов зон (дна зоны проводимости и потолка валентной зоны), поскольку носители заряда в основном заполняют именно эти состояния в соответствии с распределением Ферми. ФПС вблизи экстремумов зон подчиняется общим соотношениям, зависящим от размерности электронной системы.

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 13

E=ħ2kx2/2mx+ħ2ky2/2my+ħ2kz2/2mz+E0,

В изотропном кристалле

E = h2k 2 + E0

2m

где E0 – энергия, соответствующая краю зоны

Таким образом

dN dk = (2mV) (E − E0 )

πh 2

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 14

Окончательно получаем:

плотность состояний вблизи края зоны E0 в изотропном объемном кристалле.

Важная особенность ФПС объемного материала – устремление к нулю числа носителей, заполняющих состояния с энергией вблизи края зоны.

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 15

Нахождение концентрации носителей, отвечающей условию прозрачности

1. Концентрации электронов и дырок n=∫ρС(EС)f(EС,FC)dEC p=∫ρV(EV)f(EV,FV)dEV

2.Условие электронейтральности n = p

3.Условие инверсии

FC – FV = EG

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 16

Energy, meV

Заполнение состояний в объемном GaAs при условии прозрачности

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 17

Получаем, что концентрация носителей при выполнении условия прозрачности в объемном GaAs составляет n0~1018 см-3.

J0 = qnτ0d

где d – толщина активной области τ – время рекомбинации

Для τ ~ 1 нс, d ~ 0.1 мкм получаем, что плотность тока прозрачности (минимальная пороговая плотность тока) объемного полупроводника ~ 1кА/см2

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 18

В общем виде для простоты полагаем, что условие прозрачности достигается, когда уровень Ферми входит в зону, а размытие функции Ферми 2kBT

Таким образом, в объемном материале пороговая плотность тока велика и существенно зависит от температуры.

А.Е.Жуков, Физика и технология полупроводниковых наноструктур, гл. 3, стр. 19